Найти тип особой точки для системы дифференциальных уравнений

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения, теория устойчивости

Нам нужно найти тип особой точки для системы дифференциальных уравнений:

 \begin{cases} \dot{x} = x - y, \ \dot{y} = 2x - y. \end{cases} 

1. Нахождение особой точки

Особая точка находится при условии равенства производных нулю:

 \begin{cases} x - y = 0, \ 2x - y = 0. \end{cases} 

Из первого уравнения:
x = y.

Подставим это во второе уравнение:
2x - x = 0 \implies x = 0, y = 0.

Таким образом, особая точка: (0, 0).

2. Линеаризация системы

Составим матрицу Якоби для данной системы:

 J = \begin{pmatrix} \frac{\partial \dot{x}}{\partial x} & \frac{\partial \dot{x}}{\partial y} \ \frac{\partial \dot{y}}{\partial x} & \frac{\partial \dot{y}}{\partial y} \end{pmatrix}. \end{formula> Для нашей системы: \frac{\partial \dot{x}}{\partial x} = 1, \quad \frac{\partial \dot{x}}{\partial y} = -1, \ \frac{\partial \dot{y}}{\partial x} = 2, \quad \frac{\partial \dot{y}}{\partial y} = -1. 

Следовательно:

 J = \begin{pmatrix} 1 & -1 \ 2 & -1 \end{pmatrix}. \end{formula> --- ### 3. Собственные значения матрицы Якоби Найдём собственные значения матрицы, решая характеристическое уравнение: \det(J - \lambda I) = 0, \end{formula> где I — единичная матрица, а \lambda — собственное значение.

Подставим:

 \det \begin{pmatrix} 1 - \lambda & -1 \ 2 & -1 - \lambda \end{pmatrix} = 0. 

Вычислим определитель:

 (1 - \lambda)(-1 - \lambda) - (-1)(2) = 0, 

 \lambda^2 - \lambda - 3 = 0. 

Решим квадратное уравнение:

 \lambda = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}. 

Собственные значения:

 \lambda_1 = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}, \quad \lambda_2 = \frac{1 - \sqrt{13}}{2}. 

4. Тип особой точки

Оба собственных значения вещественные и имеют разный знак (\lambda_1 > 0, \lambda_2 < 0). Это означает, что особая точка (0, 0) является седлом.

Ответ: Особая точка (0, 0) — седло.