Найти сумму

Это задание относится к предмету "Дифференциальные уравнения", разделу "Решение дифференциальных уравнений высших порядков"

Давайте подробно решим эту задачу. Нам дано третьего порядка дифференциальное уравнение: \[y''' = \cos 2x\] с начальными условиями: \[y(0) = 0\] \[y'(0) = 0\] \[y''(0) = 1\] и требуется найти сумму \(y(\pi) + y(-\pi)\).

Для решения уравнения, сначала найдем общий интеграл этого уравнения:

1. Интегрируем правую часть уравнения: \[y''' = \cos 2x\] Первое интегрирование даст нам: \[y'' = \int \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} \sin 2x + C_1\] Учитывая, что \(y''(0) = 1\), получаем: \[1 = \frac{1}{2} \sin(0) + C_1 \Rightarrow C_1 = 1\] Таким образом, \[y'' = \frac{1}{2} \sin 2x + 1\]
2. Интегрируем ещё раз, чтобы получить \(y'\): \[y' = \int \left( \frac{1}{2} \sin 2x + 1 \right) dx = -\frac{1}{4} \cos 2x + x + C_2\] Учитывая, что \(y'(0) = 0\), получаем: \[0 = -\frac{1}{4} \cos(0) + 0 + C_2 \Rightarrow C_2 = \frac{1}{4}\] Таким образом, \[y' = -\frac{1}{4} \cos 2x + x + \frac{1}{4}\]
3. Интегрируем ещё раз, чтобы получить \(y\): \[y = \int \left( -\frac{1}{4} \cos 2x + x + \frac{1}{4} \right) dx = -\frac{1}{8} \sin 2x + \frac{x^2}{2} + \frac{1}{4}x + C_3\] Учитывая, что \(y(0) = 0\), получаем: \[0 = -\frac{1}{8} \sin(0) + \frac{0^2}{2} + \frac{1}{4} \cdot 0 + C_3 \Rightarrow C_3 = 0\] Таким образом, \[y = -\frac{1}{8} \sin 2x + \frac{x^2}{2} + \frac{1}{4} x\]

Теперь нам нужно найти значение \(y(\pi) + y(-\pi)\):

\[ y(\pi) = -\frac{1}{8} \sin 2\pi + \frac{\pi^2}{2} + \frac{\pi}{4} = 0 + \frac{\pi^2}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi^2}{2} + \frac{\pi}{4} \]

\[ y(-\pi) = -\frac{1}{8} \sin 2(-\pi) + \frac{(-\pi)^2}{2} + \frac{-\pi}{4} = 0 + \frac{\pi^2}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi^2}{2} - \frac{\pi}{4} \]

\[ y(\pi) + y(-\pi) = \left( \frac{\pi^2}{2} + \frac{\pi}{4} \right) + \left( \frac{\pi^2}{2} - \frac{\pi}{4} \right) = \pi^2 \] Таким образом, искомая сумма \(y(\pi) + y(-\pi)\) равна: \[\boxed{\pi^2}\]