Найти состояния равновесия системы

Предмет: Дифференциальные уравнения

Раздел: Исследование устойчивости систем уравнений, фазовый анализ

Дано:

Система дифференциальных уравнений: \[ \begin{cases} \dot{u} = -u(u - 3) - v, \\ \dot{v} = \frac{1}{4}v(u - \frac{7}{4}). \end{cases} \]

Цель:

1. Найти состояния равновесия системы.
2. Определить состояние равновесия с положительными координатами.
3. Построить линеаризованную систему в состоянии равновесия с положительными координатами.
4. Составить характеристическое уравнение и найти корни.
5. Определить тип состояния равновесия.

Шаг 1. Найдём состояния равновесия системы.

Из первого уравнения:

\[ \dot{u} = -u(u - 3) - v = 0 \Rightarrow v = -u(u - 3). \]

Из второго уравнения:

\[ \dot{v} = \frac{1}{4} v (u - \frac{7}{4}) = 0. \]
Это уравнение обращается в ноль при:

1. \(v = 0\),
2. \(u = \frac{7}{4}\).

I. Рассмотрим случай \(v = 0\):

Подставим \(v = 0\) в первое уравнение (при \(\dot{u} = 0\)): \[ -u(u - 3) = 0 \Rightarrow u(u - 3) = 0. \]
Решив это уравнение, получаем два значения для \(u\): u = 0 или \(u = 3\).
Таким образом, первые два состояния равновесия: \[ (0, 0) \quad \text{и} \quad (3, 0). \]

II. Рассмотрим случай \(u = \frac{7}{4}\):

Подставим \(u = \frac{7}{4}\) в выражение для \(v = -u(u - 3)\): \[ v = -\frac{7}{4} \left( \frac{7}{4} - 3 \right) = -\frac{7}{4} \cdot \left( -\frac{5}{4} \right) = \frac{35}{16}. \]
Третье состояние равновесия: \[ \left( \frac{7}{4}, \frac{35}{16} \right). \]

Шаг 2. Определим состояние равновесия с положительными координатами.

Очевидно, состояние с положительными координатами — это \(\left( \frac{7}{4}, \frac{35}{16} \right)\).

Шаг 3. Линеаризация системы уравнений в точке равновесия \(\left( \frac{7}{4}, \frac{35}{16} \right)\).

Для линеаризации системы используем якобиан функций правых частей системы относительно \(u\) и \(v\). Пусть \[ f(u, v) = -u(u - 3) - v, \quad g(u, v) = \frac{1}{4}v\left(u - \frac{7}{4}\right). \]

Частные производные функции \(f(u, v)\):

\[ f_u = \frac{\partial}{\partial u} \left[ -u(u - 3) - v \right] = -(2u - 3), \]
\[ f_v = \frac{\partial}{\partial v} \left[ -u(u - 3) - v \right] = -1. \]

Частные производные функции \(g(u, v)\):

\[ g_u = \frac{\partial}{\partial u} \left[ \frac{1}{4}v\left(u - \frac{7}{4}\right) \right] = \frac{1}{4}v, \]
\[ g_v = \frac{\partial}{\partial v} \left[ \frac{1}{4}v\left(u - \frac{7}{4}\right) \right] = \frac{1}{4} \left( u - \frac{7}{4} \right). \]

Теперь вычислим значения частных производных в точке \(\left( \frac{7}{4}, \frac{35}{16} \right)\):

\[ f_u\left( \frac{7}{4}, \frac{35}{16} \right) = -(2 \cdot \frac{7}{4} - 3) = -\left( \frac{7}{2} - 3 \right) = -\frac{1}{2}, \]
\[ f_v\left( \frac{7}{4}, \frac{35}{16} \right) = -1, \]
\[ g_u\left( \frac{7}{4}, \frac{35}{16} \right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{35}{16} = \frac{35}{64}, \]
\[ g_v\left( \frac{7}{4}, \frac{35}{16} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{7}{4} - \frac{7}{4} \right) = 0. \]

Якоби матрица в точке равновесия \(\left( \frac{7}{4}, \frac{35}{16} \right)\): \[ J = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -1 \\ \frac{35}{64} & 0 \end{pmatrix}. \]

Шаг 4. Составим характеристическое уравнение.

Характеристическое уравнение матрицы Якоби задаётся выражением: \[ \det \left( J - \lambda I \right) = 0, \]
где \(I\) — единичная матрица, а \(\lambda\) — собственные значения.
Вычислим это: \[ \det \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} - \lambda & -1 \\ \frac{35}{64} & -\lambda \end{pmatrix} = 0. \]
Найдём определитель: \[ (-\frac{1}{2} - \lambda)(-\lambda) - (-1)\left( \frac{35}{64} \right) = 0, \]
\[ \lambda\left(\frac{1}{2} + \lambda\right) - \frac{35}{64} = 0, \]
\[ \lambda^2 + \frac{1}{2}\lambda - \frac{35}{64} = 0. \]
Умножим уравнение на \(64\) для упрощения: \[ 64\lambda^2 + 32\lambda - 35 = 0. \]

Решим квадратное уравнение: \[ \lambda = \frac{-32 \pm \sqrt{32^2 - 4 \cdot 64 \cdot (-35)}}{2 \cdot 64} = \frac{-32 \pm \sqrt{1024 + 8960}}{128} = \frac{-32 \pm \sqrt{9984}}{128}. \]
Приблизительно: \[ \lambda = \frac{-32 \pm 99.92}{128}. \]
Получаем два корня: \[ \lambda_1 \approx \frac{67.92}{128} \approx 0.53, \quad \lambda_2 \approx \frac{-131.92}{128} \approx -1.03. \]

Шаг 5. Определим тип состояния равновесия.

Поскольку один корень положителен (\(\lambda_1 > 0\)) и один отрицателен (\(\lambda_2 < 0\)), это состояние равновесия является седлом.

Ответы:

1. Состояния равновесия: \((0, 0)\), \((3, 0)\), \(\left( \frac{7}{4}, \frac{35}{16} \right)\).
2. Состояние с положительными координатами: \(\left( \frac{7}{4}, \frac{35}{16} \right)\).
3. Линеаризованная система в точке равновесия \(\left( \frac{7}{4}, \frac{35}{16} \right)\) задаётся матрицей Якоби: \[ J = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -1 \\ \frac{35}{64} & 0 \end{pmatrix}. \]
4. Характеристическое уравнение: \(\lambda^2 + \frac{1}{2}\lambda - \frac{35}{64} = 0.\) Корни: \(\lambda_1 \approx 0.53\), \(\lambda_2 \approx -1.03\).
5. Тип состояния равновесия: седло.

Состояния равновесия получаются из условия \(\dot{u} = 0\) и \(\dot{v} = 0\).