Найти состояние равновесия и провести линейный анализ системы для определения их типа

Условие:

Определить состояния равновесия системы

Условие: Определить состояния равновесия системы

Решение:

Определение предмета и раздела

Данное задание относится к предмету дифференциальные уравнения, а именно к качественному исследованию обыкновенных дифференциальных уравнений и систем динамических уравнений в первом квадранте координатной плоскости. Мы будем искать состояния равновесия и проводить линейный анализ системы для определения их типа.

Постановка задачи

Перед нами система дифференциальных уравнений:

\[ \frac{dx}{dt} = -x(x - 3) - y = P(x, y), \tag{2.1.8} \] \[ \frac{dy}{dt} = \frac{1}{4} y \left( x - \frac{3}{2} \right) = Q(x, y). \tag{2.1.9} \]

Необходимо:

  1. Определить состояния равновесия системы.
  2. Построить линейную систему возле одного из найденных состояний равновесия с положительными координатами (точка обозначена символом \(O_*\)).
  3. Определить тип состояния равновесия в точке \(O_*\).

Пункт 1: Определение состояний равновесия

Состояние равновесия — это такие точки \( (x_*, y_*) \), в которых скорости изменения переменных \( x \) и \( y \) равны нулю:

\[ \frac{dx}{dt} = 0, \quad \frac{dy}{dt} = 0. \]

То есть нужно решить систему уравнений:

  1. \[-x(x - 3) - y = 0, \tag{1}\]
  2. \[\frac{1}{4} y \left( x - \frac{3}{2} \right) = 0. \tag{2}\]
Рассмотрим уравнение (2):
\[ \frac{1}{4} y \left( x - \frac{3}{2} \right) = 0. \]

Это уравнение обращается в ноль, если \( y = 0 \) или \( x = \frac{3}{2} \).

1. Случай \( y = 0 \):

Подставляем \( y = 0 \) в первое уравнение (1):

\[ -x(x - 3) = 0. \]

Отсюда \( x(x - 3) = 0 \), то есть \( x = 0 \) или \( x = 3 \). Таким образом, получаем два состояния равновесия:

\( O_1(0, 0) \) и \( O_2(3, 0) \).

2. Случай \( x = \frac{3}{2} \):

Подставляем \( x = \frac{3}{2} \) во второе уравнение (1):

\[ -\frac{3}{2} \left( \frac{3}{2} - 3 \right) - y = 0, \] \[ -\frac{3}{2} \left( -\frac{3}{2} \right) - y = 0, \] \[ \frac{9}{4} = y. \]

Получаем еще одно состояние равновесия:

\( O_3\left( \frac{3}{2}, \frac{9}{4} \right) \).

Итак, состояния равновесия системы:

\( (0, 0), \quad (3, 0), \quad \left( \frac{3}{2}, \frac{9}{4} \right) \).

Пункт 2: Линеризация системы

Рассмотрим точку \( O_* = \left( \frac{3}{2}, \frac{9}{4} \right) \), так как она находится в первом квадранте, где оба координаты положительны. Воспользуемся методом линеризации — для этого найдём якобиан системы:

\[ J(x, y) = \begin{pmatrix} \frac{\partial P}{\partial x} & \frac{\partial P}{\partial y} \\ \frac{\partial Q}{\partial x} & \frac{\partial Q}{\partial y} \end{pmatrix}. \]

Найдём частные производные функций \( P(x, y) \) и \( Q(x, y) \). Функция \( P(x, y) \):

\[ P(x, y) = -x(x - 3) - y. \]

Частные производные:

\[ \frac{\partial P}{\partial x} = -2x + 3, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = -1. \]

Функция \( Q(x, y) \):

\[ Q(x, y) = \frac{1}{4}y\left(x - \frac{3}{2}\right). \]

Частные производные:

\[ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{1}{4}y, \quad \frac{\partial Q}{\partial y} = \frac{1}{4}\left(x - \frac{3}{2}\right). \]

Якобиан в точке \( \left( \frac{3}{2}, \frac{9}{4} \right) \):

\[ J\left( \frac{3}{2}, \frac{9}{4} \right) = \begin{pmatrix} \frac{\partial P}{\partial x} & \frac{\partial P}{\partial y} \\ \frac{\partial Q}{\partial x} & \frac{\partial Q}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ \frac{9}{16} & 0 \end{pmatrix}. \]

Пункт 3: Определение типа состояния равновесия

Для определения типа состояния равновесия необходимо найти собственные значения матрицы Якоби. Рассмотрим характеристическое уравнение для матрицы \( J \):

\[ \det(J - \lambda I) = 0, \]

где \( I \) — единичная матрица, а \( \lambda \) — собственные значения. Для матрицы

\[ J = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ \frac{9}{16} & 0 \end{pmatrix} \]

характеристическое уравнение принимает вид:

\[ \det\begin{pmatrix} -\lambda & -1 \\ \frac{9}{16} & -\lambda \end{pmatrix} = 0, \] \[ \lambda^2 - 1 \cdot \frac{9}{16} = 0, \] \[ \lambda^2 = \frac{9}{16}, \] \[ \lambda = \pm \frac{3}{4}. \]

Так как собственные значения действительные и противоположные по знаку (\( \lambda_1 = \frac{3}{4}, \lambda_2 = -\frac{3}{4} \)), точка \( \left( \frac{3}{2}, \frac{9}{4} \right) \) представляет собой седло.

Итог:

  1. Состояния равновесия системы: \( (0, 0) \), \( (3, 0) \), \( \left( \frac{3}{2}, \frac{9}{4} \right) \).
  2. Проведена линеризация системы в точке \( \left( \frac{3}{2}, \frac{9}{4} \right) \).
  3. Точка \( \left( \frac{3}{2}, \frac{9}{4} \right) \) представляет собой седло.
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Заполните, пожалуйста, данные для автора:

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн