Найти собственные значения и собственные функции краевой задачи.

Условие:

Найти собственные значения и собственные функции краевой задачи.

Решение:

На изображении представлена краевая задача, которая включает в себя дифференциальное уравнение второго порядка \( y'' + (\lambda - 3)y = 0 \), а также граничные условия \( y(\pi) = y(-\pi) \) и \( y'(\pi) = y'(-\pi) \). Цель состоит в том, чтобы найти собственные значения \( \lambda \) и соответствующие им собственные функции. Для решения данной задачи следует сначала решить дифференциальное уравнение. Предполагая, что решение имеет вид \( y = e^{rx} \), где \( r \) — это некоторое число, подстановка этого предположения в уравнение дает характеристическое уравнение \( r^2 + (\lambda - 3) = 0 \), то есть \( r^2 = 3 - \lambda \). Если \( \lambda \) больше 3, то у нас есть комплексные корни, если равно 3 — кратные корни, и если меньше 3 — действительные различные корни. Для каждого случая решение будет иметь различный вид: 1. Для \( \lambda > 3 \): Пусть \( \lambda = 3 + \mu^2 \), тогда корни \( r \) будут чисто мнимыми: \( r = \pm i\mu \), и общее решение будет иметь вид: \( y(x) = A\cos(\mu x) + B\sin(\mu x) \). 2. Для \( \lambda = 3 \): Корни \( r \) будут равны нулю и кратны, и общее решение будет иметь вид: \( y(x) = A + Bx \). 3. Для \( \lambda < 3 \): Пусть \( \lambda = 3 - \mu^2 \), где \( \mu \) действительное и положительное число, тогда корни \( r \) будут действительными и различными: \( r = \pm \mu \), и общее решение будет иметь вид: \( y(x) = Ae^{\mu x} + Be^{-\mu x} \). После нахождения общего решения нужно применить граничные условия для нахождения констант \( A \) и \( B \) и собственных значений \( \lambda \). C учетом периодических граничных условий, наиболее вероятно, что мы имеем дело со случаем 1, когда \( \lambda > 3 \), поскольку функции синус и косинус являются периодическими и могут удовлетворять условиям \( y(\pi) = y(-\pi) \) и \( y'(\pi) = y'(-\pi) \). Подставляя условия в общее решение для случая \( \lambda > 3 \), можно получить систему уравнений для \( A \) и \( B \). Найдя \( \mu \), для которых система имеет нетривиальное решение (то есть, не все константы равны нулю), можно найти собственные значения \( \lambda = 3 + \mu^2 \) и соответствующие собственные функции. Следует отметить, что данная задача является задачей на собственные значения для оператора Штурма-Лиувилля и требует более глубокого анализа для точного определения собственных значений и функций.