Найти решения однородного дифференциалного уравнения

Это задание связано с изучением дифференциальных уравнений, конкретно — с решением однородного дифференциального уравнения.

Дано дифференциальное уравнение: \[ \left( y^2 - 2xy \right) dx + x^2 dy = 0 \]

Рассмотрим способы решения данного уравнения.

1. Разделим уравнение на \( x^2 \) для облегчения процесса решения: \[ \left( \frac{y^2}{x^2} - \frac{2y}{x} \right) dx + dy = 0 \]
2. Обозначим новую переменную \( v = \frac{y}{x} \), тогда \( y = vx \) и \( dy = v dx + x dv \) (дифференцируя \( y = vx \) по x). Таким образом, уравнение преобразуется:
   • \[ x^2 \left( v^2 - 2v \right) dx + x^2 (v dx + x dv) = 0 \]
   • \[ (v^2 - 2v) dx + v dx + x dv = 0 \]
   • \[ (v^2 - v - 2v) dx + x dv = 0 \]
   • \[ (v^2 - 2v) dx + x dv = 0 \]
   • Сгруппируем термины с \( dx \) и \( dv \): \[ x dv = - (v^2 - 2v) dx \]
   • Теперь разделим переменные: \[ \frac{dv}{v^2 - 2v} = -\frac{dx}{x} \]
   • Мы можем интегрировать обе стороны: \[ \int \frac{dv}{v^2 - 2v} = \int -\frac{dx}{x} \]
   • Для интегрирования левой стороны упростим выражение, разложив знаменатель в квадрат: \[ v^2 - 2v = v(v - 2) \]
   • \[ \frac{1}{v(v - 2)} \]
   • Разделим это выражение на простые дроби: \[ \frac{1}{v(v - 2)} = \frac{A}{v} + \frac{B}{v - 2} \]
   • Решим эту систему: \[ \frac{A(v - 2) + Bv}{v(v - 2)} = 1 \]
   • Приравниваем коэффициенты: \[ A + B = 0 \] и \[ -2A = 1 \]
   • Следовательно: \[ A = -\frac{1}{2}, B = \frac{1}{2} \]
   • Таким образом: \[ \frac{1}{v(v - 2)} = -\frac{1}{2} \frac{1}{v} + \frac{1}{2} \frac{1}{v-2} \]
   • Теперь интегрируем: \[ \int \left( -\frac{1}{2} \frac{1}{v} + \frac{1}{2} \frac{1}{v-2} \right)dv = \int -\frac{dx}{x} \]
   • \[ -\frac{1}{2} \ln |v| + \frac{1}{2} \ln |v-2| = -\ln |x| + C_1 \]
   • Объединим логарифмы: \[ \frac{1}{2} (\ln |v - 2| - \ln |v|) = -\ln |x| + C_1 \]
   • \[ \frac{1}{2} \ln \left| \frac{v - 2}{v} \right| = -\ln |x| + C_1 \]
   • \[ \ln \left| \frac{v - 2}{v} \right|^{1/2} = -\ln |x| + C_1 \]
   • \[ \ln \left| \frac{v - 2}{v} \right|^{1/2} = \ln |x|^{-1} + C_2 \]
   • \[ \left| \frac{v - 2}{v} \right|^{1/2} = \frac{C}{|x|} \]
   • Вернемся к переменной \( v = \frac{y}{x} \): \[ \left| \frac{\frac{y}{x} - 2}{\frac{y}{x}} \right|^{1/2} = \frac{C}{|x|} \]
   • \[ \left| \frac{y - 2x}{y} \right|^{1/2} = \frac{C}{|x|} \]
   • \[ \frac{|y - 2x|}{|y|} = \frac{C^2}{x^2} \]
   • \[ |y - 2x| = C^2 \frac{|y|}{x^2} x^2 \]
   • \[ |y - 2x| = C^2 |y| \]
   • Рассмотрим \( \frac{y}{y_1} \): \[ |y - 2x| = C^2 |y| \]
   • Это конечная форма выражения для решения данного однородного дифференциального уравнения.