Найти решение задачи Коши для уравнения второго порядка

Данное задание относится к дисциплине Дифференциальные уравнения, к разделу, связанному с решением уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами и задачами Коши. Нам нужно найти решение задачи Коши для уравнения второго порядка:

\[ y'' - 4y' + 20y = 16xe^{2x}, \quad y(0) = 1, \quad y'(0) = 2 \]

Шаг 1. Найдем общее решение однородного уравнения

Начнем с решения однородного уравнения:

\[ y'' - 4y' + 20y = 0 \]

Для решения этого уравнения составим характеристическое уравнение:

\[ r^2 - 4r + 20 = 0 \]

Решим его с помощью дискриминанта:

\[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 16 - 80 = -64 \]

Так как дискриминант отрицательный, корни будут комплексными. Найдем их:

\[ r = \frac{-(-4) \pm \sqrt{-64}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 8i}{2} = 2 \pm 4i \]

Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид:

\[ y_h(x) = e^{2x} \left(C_1 \cos(4x) + C_2 \sin(4x)\right) \]

Шаг 2. Найдем частное решение неоднородного уравнения

Правая часть уравнения — \( 16xe^{2x} \), что является комбинацией экспоненты \( e^{2x} \) и полинома \( x \). Метод подбора предполагает, что частное решение \( y_p(x) \) будет иметь вид:

\[ y_p(x) = x(Ax + B)e^{2x} \]

Найдем первую и вторую производные \( y_p(x) \). Для этого предварительно раскроем скобки в выражении:

\[ y_p(x) = Ax^2 e^{2x} + Bxe^{2x} \]

Первая производная:

Применяем правило произведения:

\[ y_p'(x) = (2Ax + B)e^{2x} + (2Ax^2 + Bx)2e^{2x} \]

\[ y_p'(x) = 2Ax e^{2x} + Be^{2x} + 4Ax^2 e^{2x} + 2Bx e^{2x} \]

\[ y_p'(x) = (4Ax^2 + (2A + 2B)x + B)e^{2x} \]

Вторая производная:

Повторяем дифференцирование с помощью правила произведения:

\[ y_p''(x) = (8Ax + (2A + 2B))e^{2x} + (4Ax^2 + (2A + 2B)x + B)2e^{2x} \]

\[ y_p''(x) = (8Ax + 2A + 2B)e^{2x} + 2(4Ax^2 + (2A + 2B)x + B)e^{2x} \]

Раскроем:

\[ y_p''(x) = (8Ax + 2A + 2B)e^{2x} + (8Ax^2 + 4(2A + 2B)x + 2B)e^{2x} \]

\[ y_p''(x) = (8Ax^2 + (24A + 8B)x + (2A + 4B))e^{2x} \]

Подставляем \( y_p \), \( y_p' \) и \( y_p'' \) в исходное уравнение:

Теперь подставим выражения для \( y_p(x) \), \( y_p'(x) \), и \( y_p''(x) \) в левую часть уравнения \( y'' - 4y' + 20y = 16xe^{2x} \):

\[ (8Ax^2 + (24A + 8B)x + (2A + 4B))e^{2x} - 4(4Ax^2 + (2A + 2B)x + B)e^{2x} + 20(Ax^2 + Bx)e^{2x} = 16xe^{2x} \]

Раскроем скобки:

\[ (8Ax^2 + (24A + 8B)x + (2A + 4B))e^{2x} - (16Ax^2 + 4(2A + 2B)x + 4B)e^{2x} + (20Ax^2 + 20Bx)e^{2x} = 16xe^{2x} \]

Соберем коэффициенты при \( x^2 \), \( x \) и \( x^0 \):

\[ (8A - 16A + 20A)x^2 + ((24A + 8B) - 8A - 8B + 20B)x + (2A + 4B - 4B) = 16xe^{2x} \]

Приравняем коэффициенты у степеней \( x \) справа и слева от уравнения:

• Для \( x^2 \): \( 8A - 16A + 20A = 0 \times x^2 \Rightarrow 12A = 0 \Rightarrow A = 0 \)
• Для \( x \): \( (24A + 8B) - 8A - 8B + 20B = 16 \Rightarrow 24A + 20B = 16 \Rightarrow 20B = 16 \Rightarrow B = \frac{4}{5} \)

Частное решение:

Итак, частное решение имеет вид:

\[ y_p(x) = \frac{4}{5}x e^{2x} \]

Шаг 3. Общее решение

Теперь общее решение уравнения будет суммой общего решения однородного уравнения и частного решения:

\[ y(x) = y_h(x) + y_p(x) = e^{2x} \left(C_1 \cos(4x) + C_2 \sin(4x)\right) + \frac{4}{5}x e^{2x} \]

Шаг 4. Найдем константы \( C_1 \) и \( C_2 \)

Используем начальные условия \( y(0) = 1 \) и \( y'(0) = 2 \).

Первое условие: \( y(0) = 1 \)

Подставляем \( x = 0 \) в общее решение:

\[ y(0) = e^{0} \cdot (C_1 \cdot \cos(0) + C_2 \cdot \sin(0)) + \frac{4}{5} \cdot 0 \cdot e^{0} = C_1 \]

\[ C_1 = 1 \]

Второе условие: \( y'(0) = 2 \)

Найдем первую производную общего решения:

\[ y'(x) = 2e^{2x} \left(C_1 \cos(4x) + C_2 \sin(4x)\right) + e^{2x} \left(-4C_1 \sin(4x) + 4C_2 \cos(4x)\right) + \frac{4}{5}(1+2x)e^{2x} \]

Подставляем \( x = 0 \):

\[ y'(0) = 2e^{0}(1\cdot \cos(0) + C_2 \cdot \sin(0)) + e^{0}(-4 \cdot 1 \cdot \sin(0) + 4C_2 \cdot \cos(0)) + \frac{4}{5} \cdot 1 e^{0} \]

\[ y'(0) = 2 \cdot 1 + 4C_2 + \frac{4}{5} = 2 \]

\[ 4C_2 + \frac{4}{5} = 0 \Rightarrow 4C_2 = -\frac{4}{5} \Rightarrow C_2 = -\frac{1}{5} \]

Шаг 5. Окончательное решение

Получили значения констант: \( C_1 = 1 \) и \( C_2 = -\frac{1}{5} \). Подставляем их в общее решение:

\[ y(x) = e^{2x} \left( \cos(4x) - \frac{1}{5} \sin(4x) \right) + \frac{4}{5} x e^{2x} \]

Это и есть решение задачи Коши.