Найти решение задачи коши

Определение предмета и раздела

Предмет: математический анализ. Раздел: дифференциальные уравнения, Задачи Коши.

Решение задачи

Для начала запишем уравнение: \[ y' - 2xy = 2xe^{x^2} \] \[ y(0) = 3 \] Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Для его решения используем метод интегрирующего множителя. Интегрирующий множитель \( \mu(x) \) для уравнений вида \( y' + p(x)y = q(x) \) находится по формуле: \[ \mu(x) = e^{\int p(x) \, dx} \] Перепишем наше уравнение в форме \( y' + p(x)y = q(x) \):

\[ y' - 2xy = 2xe^{x^2} \rightarrow p(x) = -2x, \quad q(x) = 2xe^{x^2} \] Находим интегрирующий множитель: \[ \mu(x) = e^{\int -2x \, dx} = e^{-x^2} \] Умножаем оба члена уравнения на интегрирующий множитель: \[ e^{-x^2}y' - 2xe^{-x^2}y = 2xe^{-x^2}e^{x^2} \] Произведение \( 2xe^{-x^2}e^{x^2} \) упростится: \[ e^{-x^2}y' - 2xe^{-x^2}y = 2x \] Левая часть уравнения теперь представляет собой производную: \( (e^{-x^2}y)' = 2x \) Интегрируем обе стороны по \( x \): \[ e^{-x^2}y = \int 2x \, dx = x^2 + C \] Теперь решаем уравнение для \( y \):

\[ y = e^{x^2}(x^2 + C) \] Используем начальное условие \( y(0) = 3 \), чтобы найти \( C \): \[ 3 = e^{0}(0 + C) \] \[ C = 3 \] Подставляем \( C \) обратно в уравнение: \[ y = e^{x^2}(x^2 + 3) \] Итак, наше решение: \[ y = \left( x^2 + 3 \right)e^{x^2} \]

Выбор ответа

\[ y = \left( x^2 + 3 \right)e^{x^2} \] Правильный ответ: \[ y = (x^2 + 3)e^{x^2} \] Выбираем второй вариант ответа.