Найти решение уравнения с заданным начальным условием

Предмет: Дифференциальные уравнения

Раздел: Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Дано линейное дифференциальное уравнение:

y' + \frac{2}{x}y = x^3 + 5, \quad y(1) = \frac{7}{6}

Необходимо найти решение уравнения с заданным начальным условием.

Шаг 1. Приведение уравнения к стандартному виду

Общее уравнение линейного дифференциального уравнения первого порядка:

y' + p(x)y = q(x).

В данном случае:
p(x) = \frac{2}{x}, \quad q(x) = x^3 + 5.

Шаг 2. Нахождение интегрирующего множителя

Интегрирующий множитель находится по формуле:

\mu(x) = e^{\int p(x) \, dx}.

Вычислим:
\int p(x) \, dx = \int \frac{2}{x} \, dx = 2 \ln|x| = \ln|x^2|.

Тогда:
\mu(x) = e^{\ln|x^2|} = x^2.

Шаг 3. Умножение уравнения на интегрирующий множитель

Умножим обе части уравнения на \mu(x) = x^2:

x^2 y' + x^2 \cdot \frac{2}{x}y = x^2(x^3 + 5).

Упростим:
x^2 y' + 2x y = x^5 + 5x^2.

Левая часть теперь представляется как производная произведения:

\frac{d}{dx}(x^2 y) = x^5 + 5x^2.

Шаг 4. Интегрирование

Интегрируем обе части уравнения:

x^2 y = \int (x^5 + 5x^2) \, dx.

Вычислим интеграл:
\int (x^5 + 5x^2) \, dx = \frac{x^6}{6} + \frac{5x^3}{3} + C,

где C — произвольная константа.

Таким образом:
x^2 y = \frac{x^6}{6} + \frac{5x^3}{3} + C.

Шаг 5. Выражение y

Разделим обе части на x^2:

y = \frac{x^6}{6x^2} + \frac{5x^3}{3x^2} + \frac{C}{x^2}.

Упростим:
y = \frac{x^4}{6} + \frac{5x}{3} + \frac{C}{x^2}.

Шаг 6. Определение константы C

Используем начальное условие y(1) = \frac{7}{6}:

\frac{7}{6} = \frac{1^4}{6} + \frac{5 \cdot 1}{3} + \frac{C}{1^2}.

Упростим:
\frac{7}{6} = \frac{1}{6} + \frac{5}{3} + C.

Приведем к общему знаменателю:
\frac{7}{6} = \frac{1}{6} + \frac{10}{6} + C.

\frac{7}{6} = \frac{11}{6} + C.

C = \frac{7}{6} - \frac{11}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}.

Шаг 7. Окончательное решение

Подставим C = -\frac{2}{3} в общее решение:

y = \frac{x^4}{6} + \frac{5x}{3} - \frac{2}{3x^2}.

Ответ:

y = \frac{x^4}{6} + \frac{5x}{3} - \frac{2}{3x^2}.