Найти решение системы дифференциациальных уравнений

Это задание из области дифференциальных уравнений, раздел математики. Нам нужно решить систему дифференциальных уравнений 1-го порядка. Система:

\[ \begin{cases} x' = -2x, \\ y' = y. \end{cases} \]

Начнем с решения каждого уравнения по отдельности.

Шаг 1: Решение первого уравнения \( x' = -2x \)

Это линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Для его решения удобно использовать метод разделения переменных или заметить, что это стандартное уравнение экспоненциального типа. Запишем уравнение:

\[ \frac{dx}{dt} = -2x. \]

Разделяем переменные:

\[ \frac{dx}{x} = -2 \, dt. \]

Интегрируем обе части:

\[ \int \frac{1}{x} \, dx = \int -2 \, dt, \]

\[ \ln|x| = -2t + C_1, \]

где \( C_1 \) — произвольная постоянная. Применяем экспоненциальную функцию к обеим частям уравнения:

\[ x = e^{-2t+C_1} = e^{C_1} \cdot e^{-2t}. \]

Обозначим \( e^{C_1} \) как новую постоянную \( C_1 \), получим:

\[ x(t) = C_1 e^{-2t}. \]

Шаг 2: Решение второго уравнения \( y' = y \)

Это также линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка, но его решение известно по стандартной форме. Запишем уравнение:

\[ \frac{dy}{dt} = y. \]

Разделяем переменные:

\[ \frac{dy}{y} = dt. \]

Интегрируем:

\[ \int \frac{1}{y} \, dy = \int dt, \]

\[ \ln|y| = t + C_2. \]

Применяем экспоненциальную функцию к обеим частям:

\[ y = e^{t+C_2} = e^{C_2} \cdot e^t. \]

Обозначим \( e^{C_2} \) как новую постоянную \( C_2 \), тогда:

\[ y(t) = C_2 e^t. \]

Шаг 3: Записываем общий вид решения

Таким образом, мы нашли общее решение системы дифференциальных уравнений:

\[ \begin{cases} x(t) = C_1 e^{-2t}, \\ y(t) = C_2 e^t, \end{cases} \]

где \( C_1 \) и \( C_2 \) — произвольные постоянные, зависящие от начальных условий.