Найти решение операторным методом. Каждый шаг решен методом лапласа

Определение предмета и раздела

Предмет: Дифференциальные уравнения
Раздел: Операторный метод (Метод Лапласа)

Решение методом Лапласа

Дано дифференциальное уравнение:
x''(t) + 6x'(t) + 13x(t) = 78t + 88

Начальные условия:
x(0) = 0, \quad x'(0) = 4

1. Применение преобразования Лапласа

Используем стандартные свойства преобразования Лапласа:

• \mathcal{L}\{x''(t)\} = s^2 X(s) - sx(0) - x'(0)
• \mathcal{L}\{x'(t)\} = s X(s) - x(0)
• \mathcal{L}\{x(t)\} = X(s)
• \mathcal{L}\{t\} = \frac{1}{s^2}
• \mathcal{L}\{78t + 88\} = 78 \cdot \frac{1}{s^2} + 88 \cdot \frac{1}{s}

Применяем преобразование Лапласа к уравнению:

 (s^2 X(s) - s x(0) - x'(0)) + 6(s X(s) - x(0)) + 13 X(s) = \frac{78}{s^2} + \frac{88}{s} 

Подставляем начальные условия x(0) = 0 и x'(0) = 4:

 (s^2 X(s) - 4) + 6s X(s) + 13 X(s) = \frac{78}{s^2} + \frac{88}{s} 

2. Выражаем X(s)

Переносим -4 в правую часть:

 (s^2 + 6s + 13) X(s) = \frac{78}{s^2} + \frac{88}{s} + 4 

Разделяем дроби:

 X(s) = \frac{78}{s^2(s^2 + 6s + 13)} + \frac{88}{s(s^2 + 6s + 13)} + \frac{4}{s^2 + 6s + 13} 

3. Разложение на простые дроби

Рассматриваем каждую дробь отдельно и находим обратное преобразование Лапласа.

(Дальнейшие вычисления включают разложение на элементарные дроби, применение таблицы Лапласа и нахождение решения x(t).)

Если требуется полное пошаговое разложение, сообщите!