Найти решение однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка

Это уравнение относится к области дифференциальных уравнений. Конкретно, это однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Дано уравнение: \[ y'' + 25y' = 0 \] Решение:

1. Первым шагом мы найдем характеристическое уравнение для этого дифференциального уравнения. Пусть \( y = e^{rt} \).
2. Тогда первая производная будет \( y' = re^{rt} \), а вторая производная \( y'' = r^2 e^{rt} \).
3. Подставим эти значения в наше дифференциальное уравнение: \[ r^2 e^{rt} + 25r e^{rt} = 0 \]
4. Так как \( e^{rt} \neq 0 \), можем сократить на этот множитель: \[ r^2 + 25r = 0 \]
5. Решим это характеристическое уравнение относительно \( r \): \[ r(r + 25) = 0 \]
6. Отсюда нам ясно, что существуют два корня \( r \): \[ r_1 = 0, \quad r_2 = -25 \]
7. Таким образом, общее решение дифференциального уравнения будет: \[ y(t) = C_1 e^{0t} + C_2 e^{-25t} \] \[ y(t) = C_1 + C_2 e^{-25t} \] Где \( C_1 \) и \( C_2 \) - произвольные константы. Это общая форма решения однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с найденными корнями характеристического уравнения.