Данное задание относится к предмету математика, а конкретнее — к разделу дифференциальные уравнения. Здесь требуется найти решение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка с начальным условием.
Условие задачи:
Шаги решения:
- Уравнение, которое дано: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} \] — это обыкновенное дифференциальное уравнение разделяющихся переменных.
- Чтобы решить его, разделим переменные \(y\) и \(x\):
\[ \frac{dy}{y} = \frac{dx}{x} \]
Обе стороны уравнения можно проинтегрировать.
- Интегрируем левую и правую части:
\[ \int \frac{1}{y} dy = \int \frac{1}{x} dx \]
После интегрирования получаем: \[ \ln{|y|} = \ln{|x|} + C \]
Здесь \(C\) — произвольная константа интегрирования.
- Экспоненцируем обе части уравнения, чтобы избавиться от логарифмов:
\[ |y| = e^{\ln{|x|} + C} \]
Применяя свойства экспоненты, получаем:
\[ |y| = e^{\ln{|x|}} \cdot e^C = C_1 |x| \]
где \(C_1 = e^C\).
- Убираем модуль, так как \(C_1\) все еще остается произвольной константой (положительной или отрицательной):
\[ y = C_1 x \]
- Теперь используем начальное условие \(y(0) = x^3\). Однако при подстановке \(x = 0\) в данное уравнение, получаем неопределенность.