Найти решение линейных обыкновенных дифференциальных уравнений высших порядков

Решение этой задачи относится к предмету "Дифференциальные уравнения" и разделу "Решение линейных обыкновенных дифференциальных уравнений высших порядков".

Давайте разберем, как найти общее решение заданного дифференциального уравнения. Дано дифференциальное уравнение: \[ y^{(4)} - y = 3x e^x \cos x + \frac{5x^2}{e^x} \]

Общий подход к решению:

1. Решить однородное дифференциальное уравнение соответствующее: \[ y^{(4)} - y = 0 \]
2. Найти частное решение для неоднородного уравнения с правой частью \( 3x e^x \cos x + \frac{5x^2}{e^x} \).

1. Решение однородного уравнения

Характеристическое уравнение для \( y^{(4)} - y = 0 \) будет: \[ r^4 - 1 = 0 \]

Корни: \( r = 1, -1, i, -i \)

Решение однородного уравнения: \[ y_h = A_0 e^x + A_1 e^{-x} + B_0 \cos x + B_1 \sin x \]

2. Частное решение для неоднородного уравнения

Мы ищем частное решение для двух различных правых частей.

2.1. Частное решение для \( 3x e^x \cos x \)

В данном случае частное решение можно принять в виде: \[ y_p1 = x e^x (C_0 \cos x + C_1 \sin x) \]

2.2. Частное решение для \( \frac{5x^2}{e^x} \)

Частное решение для этого выражения принимается в виде: \[ y_p2 = e^{-x} (D_0 x^2 + D_1 x + D_2) \]

Собираем частные решения и общее решение

Общее решение уравнения является суммой общего решения однородного уравнения и частных решений неоднородного уравнения: \[ y = y_h + y_p1 + y_p2 \]

Подставляем все найденные части: \[ y = A_0 e^x + A_1 e^{-x} + B_0 \cos x + B_1 \sin x + x e^x (C_0 \cos x + C_1 \sin x) + e^{-x} (D_0 x^2 + D_1 x + D_2) \]

Это соответствует варианту ответа, который находится под буквой (а): \[ e^x((A_0 x + A_1) \cos x + (B_0 x + B_1) \sin x) + e^{-x} (C_0 x^3 + C_1 x^2 + C_2 x) \]

Таким образом, правильный ответ — вариант \( \text{а} \).