Найти решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка

Задание относится к курсу "Дифференциальные уравнения".

Конкретный пример представляет собой линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка вида: y'' - 18y' + 45y = 0

1. Рассмотрим характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения: r^2 - 18r + 45 = 0
2. Решим характеристическое уравнение. Для этого найдем корни квадратного уравнения по формуле: r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} где a = 1, b = -18, c = 45. Подставим значения: r = \frac{18 \pm \sqrt{18^2 - 4 \cdot 1 \cdot 45}}{2 \cdot 1} r = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 180}}{2} r = \frac{18 \pm \sqrt{144}}{2} r = \frac{18 \pm 12}{2}
3. Найдем корни: r_1 = \frac{18 + 12}{2} = 15 r_2 = \frac{18 - 12}{2} = 3
4. Так как корни различны и действительны, общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид: y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} где C_1 и C_2 — произвольные константы, r_1 и r_2 — корни характеристического уравнения.
5. Подставим найденные значения корней: y(x) = C_1 e^{15x} + C_2 e^{3x} Итак, общее решение дифференциального уравнения y'' - 18y' + 45y = 0 имеет вид: y(x) = C_1 e^{15x} + C_2 e^{3x} где C_1 и C_2 — произвольные константы.