Найти решение дифференциального уравнения y'+y/x =cosx/x

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальные уравнения

Задано дифференциальное уравнение: \[ y' + \frac{y}{x} = \frac{\cos x}{x} \]

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Для его решения применим метод интегрирующего множителя.

1. Приведение уравнения к стандартному виду

Перепишем уравнение в стандартном виде: \[ y' + P(x)y = Q(x) \]

Здесь \( P(x) = \frac{1}{x} \) и \( Q(x) = \frac{\cos x}{x} \).

2. Нахождение интегрирующего множителя

Интегрирующий множитель \(\mu(x)\) находится по формуле: \[ \mu(x) = e^{\int P(x) \, dx} \]

Вычислим \(\int P(x) \, dx\): \[ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| \]

Поэтому интегрирующий множитель: \[ \mu(x) = e^{\ln |x|} = |x| \]

Так как на промежутке, где \( x > 0 \) либо \( x < 0 \), \( |x| = x \) или \( |x| = -x \) соответственно, мы можем выбрать интегрирующий множитель просто \( x \) (с учётом области определения).

3. Умножение уравнения на интегрирующий множитель

Умножим исходное уравнение на \( x \): \[ x y' + y = \cos x \]

4. Приведение уравнения к виду полной производной

Левая часть уравнения представляется как производная произведения: \[ x y' + y = \frac{d}{dx} (xy) \]

Таким образом, уравнение принимает вид: \[ \frac{d}{dx} (xy) = \cos x \]

5. Интегрирование обеих частей уравнения

Интегрируем обе части: \[ \int \frac{d}{dx} (xy) \, dx = \int \cos x \, dx \]

Левая часть после интегрирования: \[ xy \]

Правая часть: \[ \int \cos x \, dx = \sin x + C \] где \( C \) - произвольная константа интегрирования.

Таким образом, у нас: \[ xy = \sin x + C \]

6. Решение для \( y \)

Разделим на \( x \) (при \( x \neq 0 \)): \[ y = \frac{\sin x + C}{x} \]

Ответ: Общее решение данного дифференциального уравнения: \[ y = \frac{\sin x + C}{x} \] где \C - произвольная постоянная.