Найти решение данного дифференциального уравнения

Это задание по дифференциальным уравнениям, раздел "обыкновенные дифференциальные уравнения".

Рассмотрим данное уравнение: \[ xy' - y = (x+y) \ln\left(\frac{x+y}{x}\right) \] Для начала, попробуем найти решение данного дифференциального уравнения.

Шаг 1: Упростим правую часть уравнения.

Рассмотрим выражение \(\ln\left(\frac{x+y}{x}\right)\):

\[ \ln\left(\frac{x+y}{x}\right) = \ln\left(1 + \frac{y}{x}\right) \]

Подставим это в исходное уравнение:

\[ xy' - y = (x+y) \ln\left(1 + \frac{y}{x}\right) \]

Шаг 2: Сделаем замену переменных.

Введем новую переменную \(u = \frac{y}{x}\), тогда \(y = ux\).

Найдем производную \(y\):

\[ y' = u'x + u \]

Подставим \(y = ux\) и \(y' = u'x + u\) в уравнение:

\[ x(u'x + u) - ux = (x + ux) \ln\left(1 + u\right) \]

Шаг 3: Упростим уравнение.

Раскроем скобки:

\[ xu'x + xu - ux = (x + ux) \ln\left(1 + u\right) \]

Преобразуем левую часть:

\[ x^2u' = (x + ux) \ln\left(1 + u\right) \]

Разделим обе части на \(x \neq 0\):

\[ xu' = (1 + u) \ln(1 + u) \]

Теперь это уравнение можно разделить на переменные:

\[ \frac{u'}{(1 + u) \ln(1 + u)} = \frac{1}{x} \]

Шаг 4: Интегрируем обе части.

Интегрируем правую часть по \(x\) и левую по \(u\):

Интегрируем левую часть:

\[ \int \frac{1}{(1 + u) \ln(1 + u)} du \]

Для интегрирования правой части:

\[ \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C \]

Шаг 5: Найдем интеграл от левой части.

Заметим, что при замене \(v = \ln(1 + u)\) выражение упрощается:

\[ dv = \frac{1}{1 + u} du \]

Тогда интеграл выглядит так:

\[ \int \frac{1}{v} dv = \ln|v| = \ln|\ln(1 + u)| \]

Подставим сюда интеграл правой части:

\[ \ln|\ln(1 + u)| = \ln|x| + C \]

Шаг 6: Выразим общий вид решения.

\[ \ln(1 + u) = Ce^{\ln|x|} = C|x| \]

\[ 1 + u = e^{C|x|} \]

Подставим обратно \(u = \frac{y}{x}\):

\[ 1 + \frac{y}{x} = e^{C|x|} \]

\[ y = x(e^{C|x|} - 1) \]

Таким образом, общее решение уравнения:

\[ y = x(e^{C|x|} - 1) \]

Задача решена полностью.