Найти расходящийся несобственный интеграл первого рода

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ, интегралы

Рассмотрим каждый представленный интеграл по отдельности.

1. \(\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x^3}\)

Рассмотрим предел:

\[\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x^3} = \lim\limits_{t \to +\infty} \int_{1}^{t} \frac{dx}{x^3}\]

Интегрируем \( \frac{1}{x^3} \):

\[\int \frac{dx}{x^3} = \int x^{-3} dx = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2} x^{-2} = -\frac{1}{2} \frac{1}{x^2}\]

Теперь подставим пределы интегрирования:

\[= \lim\limits_{t \to +\infty} \left[-\frac{1}{2} \left(\frac{1}{x^2} \right)\right]_{1}^{t} = \lim\limits_{t \to +\infty} \left( -\frac{1}{2t^2} + \frac{1}{2} \right) = -\frac{1}{2} \left(\frac{1}{t^2} \right) + \frac{1}{2}\]

Так как \( \frac{1}{t^2} \to 0 \) при \( t \to +\infty \), то:

\[\lim\limits_{t \to +\infty} \left( -\frac{1}{2} \left(\frac{1}{t^2} \right) + \frac{1}{2} \right) = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\]

Этот интеграл сходится.

2. \(\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x^2+1}\)

Рассмотрим предел:

\[\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x^2+1} = \lim\limits_{t \to +\infty} \int_{1}^{t} \frac{dx}{x^2 + 1}\]

Интегрируем \( \frac{1}{x^2 + 1} \):

\[\int \frac{dx}{x^2 + 1} = \arctan x\]

Теперь подставим пределы интегрирования:

\[= \lim\limits_{t \to +\infty} \left[ \arctan x \right]_{1}^{t} = \lim\limits_{t \to +\infty} \left( \arctan t - \arctan 1 \right)\]

Так как \( \arctan t \to \frac{\pi}{2} \) при \( t \to +\infty \):

\[\lim\limits_{t \to +\infty} \left( \arctan t - \arctan 1 \right) = \frac{\pi}{2} - \arctan 1 = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}\]

Этот интеграл сходится.

3. \(\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x}\)

Рассмотрим предел:

\[\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x} = \lim\limits_{t \to +\infty} \int_{1}^{t} \frac{dx}{x}\]

Интегрируем \( \frac{1}{x} \):

\[\int \frac{dx}{x} = \ln |x| = \ln x \quad (\text{так как \(x\) положительно})\]

Теперь подставим пределы интегрирования:

\[= \lim\limits_{t \to +\infty} \left[ \ln x \right]_{1}^{t} = \lim\limits_{t \to +\infty} \left( \ln t - \ln 1 \right) = \lim\limits_{t \to +\infty} \ln t\]

Поскольку \( \ln t \to \infty \) при \( t \to +\infty \):

\[\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x} = \infty\]

Этот интеграл расходится.

4. \(\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x^2}\)

Рассмотрим предел:

\[\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x^2} = \lim\limits_{t \to +\infty} \int_{1}^{t} \frac{dx}{x^2}\]

Интегрируем \( \frac{1}{x^2} \):

\[\int \frac{dx}{x^2} = \int x^{-2} dx = -x^{-1} = -\frac{1}{x}\]

Теперь подставим пределы интегрирования:

\[= \lim\limits_{t \to +\infty} \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1}^{t} = \lim\limits_{t \to +\infty} \left( -\frac{1}{t} + 1 \right) = -\frac{1}{t} + 1\]

Так как \( \frac{1}{t} \to 0 \) при \( t \to +\infty \), то:

\[- \frac{1}{t} + 1 \to 1\]

Этот интеграл сходится.

Таким образом, правильный ответ — В) \(\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x}\).