Найти радиус сходимости степенного ряда

Предмет: Математика

Раздел: Теория рядов (Ряды и последовательности)

Задание: Найдите радиус сходимости степенного ряда.

Рассмотрим данный степенной ряд: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2 x^n}{5^n} \]

Радиус сходимости степенного ряда можно найти используя формулу радиуса сходимости Коши-Адамара: \[ R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}} \] где \( a_n \) — это коэффициенты ряда.

В нашем случае: \[ a_n = \frac{n^2}{5^n} \]

Чтобы найти \( \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \), рассмотрим: \[ \sqrt[n]{a_n} = \sqrt[n]{\frac{n^2}{5^n}} = \frac{\sqrt[n]{n^2}}{\sqrt[n]{5^n}} = \frac{n^{2/n}}{5} \]

Теперь найдем предел этого выражения при \( n \to \infty \): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{n^{2/n}}{5} \]

Известно, что \(\lim_{n \to \infty} n^{1/n} = 1\). Таким образом: \[ \lim_{n \to \infty} n^{2/n} = 1 \]

Следовательно, \[ \lim_{n \to \infty} \frac{n^{2/n}}{5} = \frac{1}{5} \]

Тогда: \[ \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \frac{1}{5} \]

Радиус сходимости: \[ R = \frac{1}{\frac{1}{5}} = 5 \]

Таким образом, радиус сходимости данного степенного ряда равен 5.

Правильный ответ: 5.