Найти производные первого порядка в точке

Это задание из предмета "Математика" и его раздела "Дифференциальное исчисление".

Шаг 1: Определение функции

Дана функция \( z = \sqrt{y} \cdot \cos\left(\frac{x}{y}\right) \).

Шаг 2: Найдём частную производную функции по \(x\)

Для нахождения частной производной по \(x\) используем правило произведения и цепное правило.

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \sqrt{y} \cdot \cos\left(\frac{x}{y}\right) \right) \]

Поскольку \(\sqrt{y}\) не зависит от \(x\), его можно считать постоянным множителем:

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = \sqrt{y} \cdot \frac{\partial}{\partial x} \left( \cos\left(\frac{x}{y}\right) \right) \]

Теперь найдём производную \(\cos\left(\frac{x}{y}\right)\) по \(x\):

\[ \frac{\partial}{\partial x} \left( \cos\left(\frac{x}{y}\right) \right) = -\sin\left(\frac{x}{y}\right) \cdot \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{x}{y}\right) \]

Так как \(\frac{x}{y}\) это \(\frac{1}{y} \cdot x\), его производная по \(x\) равна \(\frac{1}{y}\):

\[ \frac{\partial}{\partial x} \left( \cos\left(\frac{x}{y}\right) \right) = -\sin\left(\frac{x}{y}\right) \cdot \frac{1}{y} \]

Подставляем это в исходную производную:

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = \sqrt{y} \cdot \left( -\sin\left(\frac{x}{y}\right) \cdot \frac{1}{y} \right) \]

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{\sqrt{y}}{y} \sin\left(\frac{x}{y}\right) \]

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{1}{\sqrt{y}} \sin\left(\frac{x}{y}\right) \]

Теперь подставим точку \( C(\pi, 4) \):

\[ \frac{\partial z}{\partial x} \bigg|_{C(\pi, 4)} = -\frac{1}{\sqrt{4}} \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \]

\[ \frac{\partial z}{\partial x} \bigg|_{C(\pi, 4)} = -\frac{1}{2} \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \]

Значение \(\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\) равно \(\frac{\sqrt{2}}{2}\):

\[ \frac{\partial z}{\partial x} \bigg|_{C(\pi, 4)} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]

\[ \frac{\partial z}{\partial x} \bigg|_{C(\pi, 4)} = -\frac{\sqrt{2}}{4} \]

Шаг 3: Найдём частную производную функции по \(y\)

Также используем правило произведения и цепное правило:

\[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \sqrt{y} \cdot \cos\left(\frac{x}{y}\right) \right) \]

Здесь нужно дифференцировать оба множителя: \(\sqrt{y}\) и \(\cos\left(\frac{x}{y}\right)\). Для первого множителя:

\[ \frac{\partial \sqrt{y}}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{y}} \]

Для второго множителя нам опять понадобится цепное правило:

\[ \frac{\partial \cos\left(\frac{x}{y}\right)}{\partial y} = -\sin\left(\frac{x}{y}\right) \cdot \frac{\partial \left(\frac{x}{y}\right)}{\partial y} \]

Так как \(\frac{x}{y} = x \cdot y^{-1}\), его производная по \(y\) равна:

\[ \frac{\partial \left(\frac{x}{y}\right)}{\partial y} = x \cdot \left( -y^{-2} \right) = -\frac{x}{y^2} \]}

Подставляем это в производную:

\[ \frac{\partial \cos\left(\frac{x}{y}\right)}{\partial y} = -\sin\left(\frac{x}{y}\right) \cdot \left(-\frac{x}{y^2}\right) \]

\[ \frac{\partial \cos\left(\frac{x}{y}\right)}{\partial y} = \sin\left(\frac{x}{y}\right) \cdot \frac{x}{y^2} \]

Теперь используем правило произведения:

\[ \frac{\partial z}{\partial y} = \left( \frac{1/{2\sqrt{y}}} \cdot \cos\left(\frac{x}{y}\right) \right) + \left( \sqrt{y} \cdot \sin\left(\frac{x}{y}\right) \cdot \frac{x}{y^2} \right) \]

Подставляем точку \( C(\pi, 4) \):

\[ \frac{\partial z}{\partial y} \bigg|_{C(\pi, 4)} = \left( \frac{1}{2\sqrt{4}} \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \right) + \left( \sqrt{4} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \cdot \frac{\pi}{4^2} \right) \]

\[ \frac{\partial z}{\partial y} \bigg|_{C(\pi, 4)} = \left( \frac{1}{4} \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \right) + \left( 2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \cdot \frac{\pi}{16} \right) \]

Подставим значения угловых функций \( \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) и \( \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \):

\[ \frac{\partial z}{по=\frac{\sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{2}\pi}{16} \]

Ответ:

\[ \frac{\partial z}{\partial x} \bigg|_{C(\pi, 4)} = -\frac{\sqrt{2}}{4} \]

\[ \frac{\partial z}{\partial y} \bigg|_{C(\pi, 4)} = \frac{\sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{2}\pi}{16} \]