Найти производные первого и второго порядка

Это задание по математике, раздел "дифференциальное исчисление функций нескольких переменных". Нам нужно найти частные производные первого и второго порядка функции $\text{(}z\text{)}$ по переменным $\text{(}x\text{)}$ и $\text{(}y\text{)}$. Функция задана следующим образом: $\text{[}z=8e^{x+y^2}-3x{y}^2+7x-3\text{]}$

Поиск частных производных первого порядка

Частная производная по $\text{(}x\text{)}$

Обозначим частную производную функции $\text{(}z\text{)}$ по $\text{(}x\text{)}$ как $\text{(}\frac{\mathrm{\partial }z}{\mathrm{\partial }x}\text{)}$. Используем правило цепочки для дифференцирования первого члена:

$\text{[}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}(8e^{x+y^2})=8e^{x+y^2}\cdot \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}(x+y^2)\text{]}$ $\text{[}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}(x+y^2)=1\text{]}$ $\text{[}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}(8e^{x+y^2})=8e^{x+y^2}\cdot 1=8e^{x+y^2}\text{]}$

Дифференцируем второй член по $\text{(}x\text{)}$:

$\text{[}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}(-3x{y}^2)=-3y^2\text{]}$

Дифференцируем третий член по $\text{(}x\text{)}$:

$\text{[}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}(7x)=7\text{]}$

Четвертый член является константой и его производная равна нулю:

$\text{[}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}(-3)=0\text{]}$

Соединяя все, получаем:

$\text{[}\frac{\mathrm{\partial }z}{\mathrm{\partial }x}=8e^{x+y^2}-3y^2+7\text{]}$

Частная производная по $\text{(}y\text{)}$

Обозначим частную производную функции $\text{(}z\text{)}$ по $\text{(}y\text{)}$ как $\text{(}\frac{\mathrm{\partial }z}{\mathrm{\partial }y}\text{)}$. Используем правило цепочки для дифференцирования первого члена:

$\text{[}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }y}(8e^{x+y^2})=8e^{x+y^2}\cdot \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }y}(x+y^2)\text{]}$ $\text{[}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }y}(x+y^2)=2y\text{]}$ $\text{[}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }y}(8e^{x+y^2})=8e^{x+y^2}\cdot 2y=16y{e}^{x+y^2}\text{]}$

Дифференцируем второй член по $\text{(}y\text{)}$:

$\text{[}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }y}(-3x{y}^2)=-3x\cdot \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }y}(y^2)=-3x\cdot 2y=-6xy\text{]}$

Третий и четвертый члены являются константами относительно $\text{(}y\text{)}$, их частная производная равна нулю:

$\text{[}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }y}(7x)=0\text{]}$ $\text{[}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }y}(-3)=0\text{]}$

Соединяя все, получаем:

$\text{[}\frac{\mathrm{\partial }z}{\mathrm{\partial }y}=16y{e}^{x+y^2}-6xy\text{]}$

Поиск частных производных второго порядка

Производные второго порядка по $\text{(}x\text{)}$

Обозначим $\text{(}\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}z}{\mathrm{\partial }{x}^2}\text{)}$ как вторую частную производную функции $\text{(}z\text{)}$ по $\text{(}x\text{)}$:

Берем производную от $\text{(}\frac{\mathrm{\partial }z}{\mathrm{\partial }x}=8e^{x+y^2}-3y^2+7\text{)}$ снова по $\text{(}x\text{)}$:

$\text{[}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}(8e^{x+y^2})=8e^{x+y^2}\text{]}$ $\text{[}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}(-3y^2)=0\text{]}$ $\text{[}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}(7)=0\text{]}$

Соединяя все, получаем:

$\text{[}\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}z}{\mathrm{\partial }{x}^2}=8e^{x+y^2}\text{]}$

Производные второго порядка по $\text{(}y\text{)}$

Обозначим $\text{(}\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}z}{\mathrm{\partial }{y}^2}\text{)}$ как вторую частную производную функции $\text{(}z\text{)}$ по $\text{(}y\text{)}$:

Берем производную от $\text{(}\frac{\mathrm{\partial }z}{\mathrm{\partial }y}=16y{e}^{x+y^2}-6xy\text{)}$ снова по $\text{(}y\text{)}$:

$\text{[}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }y}(16y{e}^{x+y^2})=16\cdot (e^{x+y^2}+y\cdot 2y{e}^{x+y^2})\text{]}$ $\text{[}16y{e}^{x+y^2}+16\cdot 2y^2{e}^{x+y^2}=16e^{x+y^2}(1+2y^2)\text{]}$

Дифференцируем второй член:

$\text{[}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }y}(-6xy)=-6x\text{]}$

Соединяя все, получаем:

$\text{[}\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}z}{\mathrm{\partial }{y}^2}=16e^{x+y^2}(1+2y^2)-6x\text{]}$

Смешанные производные

Обозначим $\text{(}\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}z}{\mathrm{\partial }x\mathrm{\partial }y}\text{)}$ и $\text{(}\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}z}{\mathrm{\partial }y\mathrm{\partial }x}\text{)}$:

Берем частную производную $\text{(}\frac{\mathrm{\partial }z}{\mathrm{\partial }x}=8e^{x+y^2}-3y^2+7\text{)}$ по $\text{(}y\text{)}$:

$\text{[}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }y}(8e^{x+y^2})=8\cdot 2y{e}^{x+y^2}=16y{e}^{x+y^2}\text{]}$ $\text{[}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }y}(-3y^2)=-6y\text{]}$ $\text{[}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }y}(7)=0\text{]}$

Соединяя все, получаем:

$\text{[}\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}z}{\mathrm{\partial }x\mathrm{\partial }y}=16y{e}^{x+y^2}-6y\text{]}$

Теперь берем частную производную $\text{(}\frac{\mathrm{\partial }z}{\mathrm{\partial }y}=16y{e}^{x+y^2}-6xy\text{)}$ по $\text{(}x\text{)}$:

$\text{[}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}(16y{e}^{x+y^2})=16y{e}^{x+y^2}\text{]}$ $\text{[}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}(-6xy)=-6y\text{]}$

Соединяя все, получаем:

$\text{[}\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}z}{\mathrm{\partial }y\mathrm{\partial }x}=16y{e}^{x+y^2}-6y\text{]}$

Эти две смешанные производные равны, что удовлетворяет теореме о равенстве смешанных производных Клеро.

Ответы:

1. Частные производные первого порядки:
   $\text{[}\frac{\mathrm{\partial }z}{\mathrm{\partial }x}=8e^{x+y^2}-3y^2+7\text{]}$
   $\text{[}\frac{\mathrm{\partial }z}{\mathrm{\partial }y}=16y{e}^{x+y^2}-6xy\text{]}$
2. Частные производные второго порядка:
   $\text{[}\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}z}{\mathrm{\partial }{x}^2}=8e^{x+y^2}\text{]}$
   $\text{[}\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}z}{\mathrm{\partial }{y}^2}=16e^{x+y^2}(1+2y^2)-6x\text{]}$
   $\text{[}\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}z}{\mathrm{\partial }x\mathrm{\partial }y}=\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}z}{\mathrm{\partial }y\mathrm{\partial }x}=16y{e}^{x+y^2}-6y\text{]}$