Найти производные первого и второго порядка

Это задание по математике, раздел "дифференциальное исчисление функций нескольких переменных". Нам нужно найти частные производные первого и второго порядка функции \( z \) по переменным \( x \) и \( y \). Функция задана следующим образом: \[ z = 8e^{x + y^2} - 3xy^2 + 7x - 3 \]

Поиск частных производных первого порядка

Частная производная по \( x \)

Обозначим частную производную функции \( z \) по \( x \) как \( \frac{\partial z}{\partial x} \). Используем правило цепочки для дифференцирования первого члена:

\[ \frac{\partial}{\partial x}(8e^{x + y^2}) = 8e^{x + y^2} \cdot \frac{\partial}{\partial x}(x + y^2) \] \[ \frac{\partial}{\partial x}(x + y^2) = 1 \] \[ \frac{\partial}{\partial x}(8e^{x + y^2}) = 8e^{x + y^2} \cdot 1 = 8e^{x + y^2} \]

Дифференцируем второй член по \( x \):

\[ \frac{\partial}{\partial x}(-3xy^2) = -3y^2 \]

Дифференцируем третий член по \( x \):

\[ \frac{\partial}{\partial x}(7x) = 7 \]

Четвертый член является константой и его производная равна нулю:

\[ \frac{\partial}{\partial x}(-3) = 0 \]

Соединяя все, получаем:

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = 8e^{x + y^2} - 3y^2 + 7 \]

Частная производная по \( y \)

Обозначим частную производную функции \( z \) по \( y \) как \( \frac{\partial z}{\partial y} \). Используем правило цепочки для дифференцирования первого члена:

\[ \frac{\partial}{\partial y}(8e^{x + y^2}) = 8e^{x + y^2} \cdot \frac{\partial}{\partial y}(x + y^2) \] \[ \frac{\partial}{\partial y}(x + y^2) = 2y \] \[ \frac{\partial}{\partial y}(8e^{x + y^2}) = 8e^{x + y^2} \cdot 2y = 16ye^{x + y^2} \]

Дифференцируем второй член по \( y \):

\[ \frac{\partial}{\partial y}(-3xy^2) = -3x \cdot \frac{\partial}{\partial y}(y^2) = -3x \cdot 2y = -6xy \]

Третий и четвертый члены являются константами относительно \( y \), их частная производная равна нулю:

\[ \frac{\partial}{\partial y}(7x) = 0 \] \[ \frac{\partial}{\partial y}(-3) = 0 \]

Соединяя все, получаем:

\[ \frac{\partial z}{\partial y} = 16ye^{x + y^2} - 6xy \]

Поиск частных производных второго порядка

Производные второго порядка по \( x \)

Обозначим \( \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} \) как вторую частную производную функции \( z \) по \( x \):

Берем производную от \( \frac{\partial z}{\partial x} = 8e^{x + y^2} - 3y^2 + 7 \) снова по \( x \):

\[ \frac{\partial}{\partial x}(8e^{x + y^2}) = 8e^{x + y^2} \] \[ \frac{\partial}{\partial x}(-3y^2) = 0 \] \[ \frac{\partial}{\partial x}(7) = 0 \]

Соединяя все, получаем:

\[ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 8e^{x + y^2} \]

Производные второго порядка по \( y \)

Обозначим \( \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} \) как вторую частную производную функции \( z \) по \( y \):

Берем производную от \( \frac{\partial z}{\partial y} = 16ye^{x + y^2} - 6xy \) снова по \( y \):

\[ \frac{\partial}{\partial y}(16ye^{x + y^2}) = 16 \cdot (e^{x + y^2} + y \cdot 2ye^{x + y^2}) \] \[ 16ye^{x + y^2} + 16 \cdot 2y^2e^{x + y^2} = 16e^{x + y^2}(1 + 2y^2) \]

Дифференцируем второй член:

\[ \frac{\partial}{\partial y}(-6xy) = -6x \]

Соединяя все, получаем:

\[ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 16e^{x + y^2}(1 + 2y^2) - 6x \]

Смешанные производные

Обозначим \( \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \) и \( \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} \):

Берем частную производную \( \frac{\partial z}{\partial x} = 8e^{x + y^2} - 3y^2 + 7 \) по \( y \):

\[ \frac{\partial}{\partial y}(8e^{x + y^2}) = 8 \cdot 2ye^{x+y^2} = 16ye^{x+y^2} \] \[ \frac{\partial}{\partial y}(-3y^2) = -6y \] \[ \frac{\partial}{\partial y}(7) = 0 \]

Соединяя все, получаем:

\[ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 16ye^{x+y^2} - 6y \]

Теперь берем частную производную \( \frac{\partial z}{\partial y} = 16ye^{x + y^2} - 6xy \) по \( x \):

\[ \frac{\partial}{\partial x}(16ye^{x + y^2}) = 16ye^{x+y^2} \] \[ \frac{\partial}{\partial x}(-6xy) = -6y \]

Соединяя все, получаем:

\[ \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = 16ye^{x + y^2} - 6y \]

Эти две смешанные производные равны, что удовлетворяет теореме о равенстве смешанных производных Клеро.

Ответы:

1. Частные производные первого порядки:
   \[ \frac{\partial z}{\partial x} = 8e^{x + y^2} - 3y^2 + 7 \]
   \[ \frac{\partial z}{\partial y} = 16ye^{x + y^2} - 6xy \]
2. Частные производные второго порядка:
   \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 8e^{x + y^2} \]
   \[ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 16e^{x + y^2}(1 + 2y^2) - 6x \]
   \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = 16ye^{x + y^2} - 6y \]