Найти производные неявной функции cos(xy)=y/x

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Дифференцирование неявных функций

Нам дана неявная функция:

 \cos(xy) = \frac{y}{x} 

Нужно найти производную  \frac{dy}{dx} .

Шаг 1: Продифференцируем обе части по переменной x

Так как y зависит от x, то при дифференцировании y мы используем правило производной сложной функции (цепное правило).

Левая часть:

 \frac{d}{dx}[\cos(xy)] = -\sin(xy) \cdot \frac{d}{dx}[xy] 

А теперь найдем производную \frac{d}{dx}[xy]:

 \frac{d}{dx}[xy] = y + x \cdot \frac{dy}{dx} 

Итак, левая часть производной:

 -\sin(xy) \cdot (y + x \cdot \frac{dy}{dx}) 

Правая часть:

 \frac{d}{dx}\left[\frac{y}{x}\right] = \frac{x \cdot \frac{dy}{dx} - y}{x^2} 

Шаг 2: Приравняем обе части

 -\sin(xy) \cdot (y + x \cdot \frac{dy}{dx}) = \frac{x \cdot \frac{dy}{dx} - y}{x^2} 

Шаг 3: Упростим и выразим \frac{dy}{dx}

Умножим обе части уравнения на x^2:

 - x^2 \cdot \sin(xy) \cdot (y + x \cdot \frac{dy}{dx}) = x \cdot \frac{dy}{dx} - y 

Раскроем скобки слева:

 - x^2 y \sin(xy) - x^3 \sin(xy) \cdot \frac{dy}{dx} = x \cdot \frac{dy}{dx} - y 

Переносим все слагаемые с \frac{dy}{dx} в одну сторону, остальные — в другую:

 - x^3 \sin(xy) \cdot \frac{dy}{dx} - x \cdot \frac{dy}{dx} = x^2 y \sin(xy) - y 

Вынесем \frac{dy}{dx}:

 \frac{dy}{dx} \cdot (- x^3 \sin(xy) - x) = x^2 y \sin(xy) - y 

Теперь выразим \frac{dy}{dx}:

 \frac{dy}{dx} = \frac{x^2 y \sin(xy) - y}{- x^3 \sin(xy) - x} 

Ответ:

 \frac{dy}{dx} = \frac{x^2 y \sin(xy) - y}{- x^3 \sin(xy) - x} 

Это и есть производная функции y по x, найденная из неявного уравнения.