Найти производные функции

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (Дифференцирование функций)

Для нахождения производной функции \( y \) от \( x \), используем правила дифференцирования, такие как производная от суммы функций, производная логарифмической функции, производная показательной функции и правила дифференцирования сложных функций.

Дана функция: \[ y = \ln(\sqrt{x^2 + 1} + 2) - e^{\frac{1}{x+1}} \]

1. Найдём производную первого слагаемого \( \ln(\sqrt{x^2 + 1} + 2) \):

Пусть \( u = \sqrt{x^2 + 1} + 2 \). Тогда функция преобразуется в: \[ \ln(u) \]

Производная логарифмической функции имеет вид: \[ \frac{d}{dx} \ln(u) = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} \]

Теперь найдём производную \( u \):

\[ u = \sqrt{x^2 + 1} + 2 \]

Производная суммы равна сумме производных:

\[ \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (\sqrt{x^2 + 1} + 2) = \frac{d}{dx} \sqrt{x^2 + 1} + \frac{d}{dx} 2 \]

Производная константы 2 равна 0: \[ \frac{d}{dx} 2 = 0 \]

Теперь найдём производную \( \sqrt{x^2 + 1} \):

\[ \sqrt{x^2 + 1} = (x^2 + 1)^{\frac{1}{2}} \]

Используем правило цепочки:

\[ \frac{d}{dx} (x^2 + 1)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} (x^2 + 1)^{\frac{-1}{2}} \cdot \frac{d}{dx} (x^2 + 1) \]

Производная \( x^2 + 1 \) равна: \[ \frac{d}{dx} (x^2 + 1) = 2x \]

Итак, производная \( \sqrt{x^2 + 1} \): \[ \frac{d}{dx} \sqrt{x^2 + 1} = \frac{1}{2} (x^2 + 1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \]

Теперь подставим это в производную \( u \):

\[ \frac{du}{dx} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \]

Подставим \( u \) и \( \frac{du}{dx} \) в производную логарифма:

\[ \frac{d}{dx} \ln(\sqrt{x^2 + 1} + 2) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} + 2} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \]

Теперь упрощаем:

\[ \frac{x}{(\sqrt{x^2 + 1} + 2)\sqrt{x^2 + 1}} \]

2. Найдём производную второго слагаемого \( e^{\frac{1}{x+1}} \):

Пусть \( v = \frac{1}{x+1} \). Тогда функция становится: \[ e^v \]

Производная показательной функции:

\[ \frac{d}{dx} e^v = e^v \cdot \frac{dv}{dx} \]

Найдём производную \( \frac{1}{x+1} \):

\[ v = \frac{1}{x+1} \]

Используем правило дифференцирования дробной функции:

\[ \frac{d}{dx} (\frac{1}{x+1}) = -\frac{1}{(x+1)^2} \]

Теперь подставим это в производную \( e^v \):

\[ \frac{d}{dx} e^{\frac{1}{x+1}} = e^{\frac{1}{x+1}} \cdot -\frac{1}{(x+1)^2} = -\frac{e^{\frac{1}{x+1}}}{(x+1)^2} \]

Таким образом, производная функции будет равна:

\[ y' = \frac{x}{(\sqrt{x^2 + 1} + 2)\sqrt{x^2 + 1}} - \frac{e^{\frac{1}{x+1}}}{(x+1)^2} \]

Это и есть производная от данной функции \( y \).