Найти производные функции

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (Дифференцирование функций)

Для нахождения производной функции $\text{(}y\text{)}$ от $\text{(}x\text{)}$, используем правила дифференцирования, такие как производная от суммы функций, производная логарифмической функции, производная показательной функции и правила дифференцирования сложных функций.

Дана функция: $\text{[}y=\ln (\sqrt{x^2+1}+2)-e^{\frac{1}{x+1}}\text{]}$

1. Найдём производную первого слагаемого $\text{(}\ln (\sqrt{x^2+1}+2)\text{)}$:

Пусть $\text{(}u=\sqrt{x^2+1}+2\text{)}$. Тогда функция преобразуется в: $\text{[}\ln (u)\text{]}$

Производная логарифмической функции имеет вид: $\text{[}\frac{d}{dx}\ln (u)=\frac{1}{u}\cdot \frac{du}{dx}\text{]}$

Теперь найдём производную $\text{(}u\text{)}$:

$\text{[}u=\sqrt{x^2+1}+2\text{]}$

Производная суммы равна сумме производных:

$\text{[}\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}(\sqrt{x^2+1}+2)=\frac{d}{dx}\sqrt{x^2+1}+\frac{d}{dx}2\text{]}$

Производная константы 2 равна 0: $\text{[}\frac{d}{dx}2=0\text{]}$

Теперь найдём производную $\text{(}\sqrt{x^2+1}\text{)}$:

$\text{[}\sqrt{x^2+1}=(x^2+1{)}^{\frac{1}{2}}\text{]}$

Используем правило цепочки:

$\text{[}\frac{d}{dx}(x^2+1{)}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}(x^2+1{)}^{\frac{-1}{2}}\cdot \frac{d}{dx}(x^2+1)\text{]}$

Производная $\text{(}{x}^2+1\text{)}$ равна: $\text{[}\frac{d}{dx}(x^2+1)=2x\text{]}$

Итак, производная $\text{(}\sqrt{x^2+1}\text{)}$: $\text{[}\frac{d}{dx}\sqrt{x^2+1}=\frac{1}{2}(x^2+1{)}^{-\frac{1}{2}}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\text{]}$

Теперь подставим это в производную $\text{(}u\text{)}$:

$\text{[}\frac{du}{dx}=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\text{]}$

Подставим $\text{(}u\text{)}$ и $\text{(}\frac{du}{dx}\text{)}$ в производную логарифма:

$\text{[}\frac{d}{dx}\ln (\sqrt{x^2+1}+2)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+2}\cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\text{]}$

Теперь упрощаем:

$\text{[}\frac{x}{(\sqrt{x^2+1}+2)\sqrt{x^2+1}}\text{]}$

2. Найдём производную второго слагаемого $\text{(}{e}^{\frac{1}{x+1}}\text{)}$:

Пусть $\text{(}v=\frac{1}{x+1}\text{)}$. Тогда функция становится: $\text{[}{e}^v\text{]}$

Производная показательной функции:

$\text{[}\frac{d}{dx}{e}^v=e^v\cdot \frac{dv}{dx}\text{]}$

Найдём производную $\text{(}\frac{1}{x+1}\text{)}$:

$\text{[}v=\frac{1}{x+1}\text{]}$

Используем правило дифференцирования дробной функции:

$\text{[}\frac{d}{dx}(\frac{1}{x+1})=-\frac{1}{(x+1{)}^2}\text{]}$

Теперь подставим это в производную $\text{(}{e}^v\text{)}$:

$\text{[}\frac{d}{dx}{e}^{\frac{1}{x+1}}=e^{\frac{1}{x+1}}\cdot -\frac{1}{(x+1{)}^2}=-\frac{e^{\frac{1}{x+1}}}{(x+1{)}^2}\text{]}$

Таким образом, производная функции будет равна:

$\text{[}{y}^{\prime }=\frac{x}{(\sqrt{x^2+1}+2)\sqrt{x^2+1}}-\frac{e^{\frac{1}{x+1}}}{(x+1{)}^2}\text{]}$

Это и есть производная от данной функции $\text{(}y\text{)}$.