Найти производные dy/dx данной функции

Для начала давайте разберемся, с какой функцией мы имеем дело и каковы основные правила дифференцирования, которые нам понадобятся.

Данная функция: Y = sqrt(x^3 + (ln(cos x))/x).

Сначала обозначим внутреннюю часть подкоренной функции как u: u = x^3 + (ln(cos x))/x. Теперь функция Y может быть записана в виде: Y = sqrt(u), что эквивалентно Y = u^(1/2).

Для нахождения производной Y по x, используем правило дифференцирования сложной функции: если y = v(u), где u = g(x), то dy/dx = (dv/du) * (du/dx).

1. Находим производную внешней функции v относительно u:

Если v = u^(1/2), то производная dv/du = (1/2)u^(-1/2).

2. Находим производную внутренней функции u относительно x:

u = x^3 + (ln(cos x))/x. Эта функция состоит из двух частей, поэтому используем правило суммы производных:

• a) Производная от x^3: d(x^3)/dx = 3x^2.
• b) Производная от (ln(cos x))/x требует применения правила частного. Условимся: функции в числителе и знаменателе обозначим как f(x) = ln(cos x) и g(x) = x соответственно.

  Используем правило частного: (du/dx) = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x)) / (g(x))^2.

  • i. Найдем производную f'(x) (числитель): f(x) = ln(cos x). f'(x) = (1/cos x) * (-sin x) = -tan x.
  • ii. Найдем производную g'(x) (знаменатель): g(x) = x, g'(x) = 1.

  Подставляем в формулу правила частного:

  (f'(x)g(x) - f(x)g'(x)) / (g(x))^2 = (-tan x * x - ln(cos x) * 1) / x^2.

  = (-x tan x - ln(cos x)) / x^2.

Теперь можем найти производную u по x:

du/dx = 3x^2 + (-x tan x - ln(cos x)) / x^2.

3. Находим производную Y:

dy/dx = (dv/du) * (du/dx).

dy/dx = (1/2)u^(-1/2) * (3x^2 - x tan x/x^2 - ln(cos x)/x^2).

Подставляем u = x^3 + (ln(cos x))/x обратно:

dy/dx = (1/2) * (x^3 + (ln(cos x))/x)^(-1/2) * (3x^2 - x tan x/x^2 - ln(cos x)/x^2).

Так мы нашли производную данной функции. Основные этапы включали применение правил дифференцирования сложных функций и правила частного в процессе нахождения производной.