Найти производные dy/dx

Задание относится к предмету "Математика", а конкретно к разделу "Дифференциальное исчисление" (Дифференцирование функций).

Нам нужно найти производную функции \( y = \log_3(x^2 - \sin x) \) по переменной \( x \).

Шаг 1: Применение правила дифференцирования логарифмической функции

Производная логарифма по основанию \( a \) записывается так:

\[\frac{d}{dx} \left( \log_a{u(x)} \right) = \frac{1}{\ln a} \cdot \frac{1}{u(x)} \cdot \frac{du(x)}{dx}\]

Здесь:

• \( u(x) = x^2 - \sin x \);
• \( a = 3 \).

Шаг 2: Применение этого правила к нашей функции

\[ y = \log_3(x^2 - \sin x) \]

Производная от функции:

\[\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\ln 3} \cdot \frac{1}{x^2 - \sin x} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 - \sin x)\]

Шаг 3: Найдем производную \( u(x) = x^2 - \sin x \)

\[\frac{d}{dx}(x^2 - \sin x) = 2x - \cos x\]

Шаг 4: Подставим производную

Тогда:

\[\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\ln 3} \cdot \frac{2x - \cos x}{x^2 - \sin x}\]

Ответ:

\[\frac{dy}{dx} = \frac{2x - \cos x}{(x^2 - \sin x) \ln 3}\]

Это производная функции \( y = \log_3(x^2 - \sin x) \) по \( x \).