Найти производную функции

Этот запрос относится к предмету "Математика", а именно к разделу "Дифференциальное исчисление".

Чтобы найти производную функции \( y = \sin \left( \sqrt{\ln(10x^2 - 9)} \right) \), будем использовать правило цепочки.

1. Обозначим функцию \( u = \sqrt{\ln(10x^2 - 9)} \).
2. Тогда \( y = \sin(u) \). Сначала найдем производную функции \( y \) по \( u \). \[\frac{dy}{du} = \cos(u)\] Теперь найдем производную \( u \) по \( x \). \[ u = \sqrt{\ln(10x^2 - 9)} \] Для этого опять используем правило цепочки: \[\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{\ln(10x^2 - 9)} \right)\]
3. Обозначим \( v = \ln(10x^2 - 9) \). \[ u = \sqrt{v} \] Для этой функции используем правило цепочки следующим образом: \[\frac{du}{dv} = \frac{1}{2} v^{-\frac{1}{2}}\] и \[ v = \ln(10x^2 - 9) \] Теперь найдем производную \( v \) по \( x \): \[\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx} \ln(10x^2 - 9)\] Используя производную натурального логарифма и правило цепочки: \[\frac{dv}{dx} = \frac{1}{10x^2 - 9} \cdot \frac{d}{dx}(10x^2 - 9)\] Производная от \( 10x^2 - 9 \) равна: \[\frac{d}{dx}(10x^2 - 9) = 20x\] Следовательно, \[\frac{dv}{dx} = \frac{20x}{10x^2 - 9}\] Теперь можем найти \( \frac{du}{dx} \): \[\frac{du}{dx} = \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx} = \frac{1}{2} (\ln(10x^2 - 9))^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{20x}{10x^2 - 9}\] Наконец, умножим \( \frac{dy}{du} \) на \( \frac{du}{dx} \): \[\frac{dy}{dx} = \cos(u) \cdot \frac{du}{dx} = \cos\left(\sqrt{\ln(10x^2 - 9)}\right) \cdot \frac{10x}{(10x^2 - 9)\sqrt{\ln(10x^2 - 9)}}\] Итак, производная функции \( y = \sin \left( \sqrt{\ln(10x^2 - 9)} \right) \) равна: \[\frac{dy}{dx} = \cos\left(\sqrt{\ln(10x^2 - 9)}\right) \cdot \frac{10x}{(10x^2 - 9) \sqrt{\ln(10x^2 - 9)}}\]