Найти производную функции f(t).

Предмет: Математика
Раздел: Дифференцирование (производные)

Дано:
f(t) = t \cdot e^t - t^2 + 3 e^{-2t} \cdot \sin 3t

Задача: найти производную функции f(t).

Решение:

Производная суммы равна сумме производных, поэтому найдем производные каждого слагаемого по отдельности.

1.  \frac{d}{dt} \left( t \cdot e^t \right)

Используем правило произведения:
 (uv)' = u'v + uv' , где u = t, v = e^t.

 u' = 1, \quad v' = e^t 

Тогда:
 \frac{d}{dt} (t e^t) = 1 \cdot e^t + t \cdot e^t = e^t + t e^t = e^t (1 + t) 

2.  \frac{d}{dt} (-t^2) = -2t 

3.  \frac{d}{dt} \left( 3 e^{-2t} \sin 3t \right) 

Здесь тоже произведение:
 u = 3 e^{-2t}, \quad v = \sin 3t 

Найдем производные:
 u' = 3 \cdot (-2) e^{-2t} = -6 e^{-2t} 
 v' = 3 \cos 3t 

По правилу произведения:
 \frac{d}{dt} (3 e^{-2t} \sin 3t) = u' v + u v' = (-6 e^{-2t}) \sin 3t + 3 e^{-2t} \cdot 3 \cos 3t = -6 e^{-2t} \sin 3t + 9 e^{-2t} \cos 3t 

Итоговая производная:
 f'(t) = e^t (1 + t) - 2t - 6 e^{-2t} \sin 3t + 9 e^{-2t} \cos 3t 

Ответ:
 \boxed{f'(t) = e^t (1 + t) - 2t - 6 e^{-2t} \sin 3t + 9 e^{-2t} \cos 3t}