Найти производную функции

Предмет: Математика

Раздел предмета: Производные

Задача: Найти производную функции \( y = 2x^8 + 8x^3 - 5 \).

Решение:

Для нахождения производной функции указаны правила дифференцирования степенных функций. Основное правило, используемое в этом случае, - это правило дифференцирования степенной функции \( f(x) = x^n \), производная которой \( f'(x) = nx^{n-1} \).

Начнем с нахождения производной для каждого слагаемого по отдельности.

• Функция \( y = 2x^8 \): Используя правило дифференцирования степенной функции: \[ \frac{d}{dx}(2x^8) = 2 \cdot \frac{d}{dx}(x^8) = 2 \cdot 8x^{8-1} = 16x^7 \]
• Функция \( 8x^3 \): Используя то же правило: \[ \frac{d}{dx}(8x^3) = 8 \cdot \frac{d}{dx}(x^3) = 8 \cdot 3x^{3-1} = 24x^2 \]
• Константа \( -5 \): Производная константы равна 0: \[ \frac{d}{dx}(-5) = 0 \]

Теперь, собрав все вместе, получаем производную исходной функции: \[ y' = 16x^7 + 24x^2 + 0 \]
Т.е. окончательная производная: \[ y' = 16x^7 + 24x^2 \]

Подробное объяснение каждого шага:

1. Определение слагаемых:
   • Для \( 2x^8 \): Мы умножаем 8 (степень x) на 2 (коэффициент) и понижаем степень x на 1.
   • Для \( 8x^3 \): Мы умножаем 3 (степень x) на 8 (коэффициент) и понижаем степень x на 1.
   • Для константы 5 производная будет 0, потому что константа не зависит от x и не изменяется при изменении x.
2. Суммирование всех производных:

   - Собирая все найденные производные вместе, получаем общий результат.

   Таким образом, производная функции \( y = 2x^8 + 8x^3 - 5 \) равна \( y' = 16x^7 + 24x^2 \).