Найти производную данной функции

Это задание относится к предмету математики, разделу математического анализа, а именно к изучению функций и тригонометрии. Необходимо найти производную данной функции. Функция задана как:

y = 3a^2 * arctg(√(x / (a - x))).

Для нахождения производной, воспользуемся правилом цепочки и правилами дифференцирования арктангенса и корня. Обозначим u = √(x / (a - x)), тогда:

1. Найдем производную арктангенса:

d/dx [arctg(u)] = 1 / (1 + u^2) * du/dx.

2. Найдем производную u.

Поскольку u = √(x / (a - x)), то используем правило дифференцирования корня и дроби:

u = (x / (a - x))^(1/2).

Производная u по x:

d/dx [u] = 1/2 * (x / (a - x))^(-1/2) * d/dx [x / (a - x)].

Теперь найдем производную дроби:

d/dx [x / (a - x)] = (a - x)^(-2) * [d/dx (x) * (a - x) - x * d/dx (a-x)],

где:

d/dx [x / (a - x)] = (a - x)^(-2) * [1(a-x) - x(-1)] = (a - x)^(-2) * (a - x + x) = 1 / (a - x).

В итоге:

d/dx [u] = 1/2 * (x / (a - x))^(-1/2) * 1 / (a - x).

Теперь найдем производную функции y:

dy/dx = 3a^2 * (1 / (1 + u^2)) * d/dx [u].

Подставляем:

dy/dx = 3a^2 * (1 / (1 + (x / (a - x)))) * [1/2 * (x / (a - x))^(-1/2) * 1/(a-x)].

Теперь получаем окончательный результат, подставив все найденные производные. Это дает возможность проанализировать функцию и понять её поведение, такие как монотонность и экстремумы при различных значениях параметра a.