Найти производную

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальное исчисление

Дана функция: [y^2x = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)].
Требуется найти производную \frac{dy}{dx}.

Решение:

1. Уравнение [y^2x = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)] содержит переменные x и y, которые зависят друг от друга. Поэтому будем находить производную обеих частей уравнения по x, используя правило дифференцирования неявной функции.

2. Продифференцируем левую часть [y^2x] по x: [ \frac{d}{dx}(y^2x) = \frac{d}{dx}(y^2) \cdot x + y^2 \cdot \frac{d}{dx}(x) ] Здесь:

   • Производная [y^2] по x равна [2y \frac{dy}{dx}] (по правилу цепочки),
   • Производная [x] по x равна [1].

3. Тогда: [ \frac{d}{dx}(y^2x) = 2y \frac{dy}{dx} \cdot x + y^2 ]

3. Теперь продифференцируем правую часть [\arctan\left(\frac{y}{x}\right)] по x.
   Используем правило дифференцирования сложной функции: [ \frac{d}{dx}\arctan\left(\frac{y}{x}\right) = \frac{1}{1 + \left(\frac{y}{x}\right)^2} \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{y}{x}\right) ] Производная [\frac{y}{x}] по x вычисляется как: [ \frac{d}{dx}\left(\frac{y}{x}\right) = \frac{x \frac{dy}{dx} - y}{x^2} ]

   Тогда: [ \frac{d}{dx}\arctan\left(\frac{y}{x}\right) = \frac{1}{1 + \left(\frac{y}{x}\right)^2} \cdot \frac{x \frac{dy}{dx} - y}{x^2} ]

4. Теперь уравнение для производной \frac{dy}{dx} выглядит так: [ 2y \frac{dy}{dx} \cdot x + y^2 = \frac{1}{1 + \left(\frac{y}{x}\right)^2} \cdot \frac{x \frac{dy}{dx} - y}{x^2} ]

5. Упростим выражение для удобства:

   • Умножим обе части уравнения на [x^2 \cdot \left(1 + \left(\frac{y}{x}\right)^2\right)], чтобы избавиться от дробей.
   • Раскроем скобки и выразим \frac{dy}{dx}.

Далее идут алгебраические преобразования, которые дадут окончательный результат:

[ \frac{dy}{dx} = \frac{y^2x^2 + y}{x^2 - 2y^2x^2} ]

Ответ: [ \frac{dy}{dx} = \frac{y^2x^2 + y}{x^2 - 2y^2x^2} ]