Найти преобразование Лапласа функции

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения и преобразование Лапласа

Рассмотрим функцию ( f(t) = 4t - 3 + (5 - 3 \cos 5t)e^{-3t} - t e^{2t} + \cos t + 4 \sin 4t ).
Требуется найти преобразование Лапласа функции ( f(t) ).

Формула преобразования Лапласа:
L\{f(t)\} = F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st}dt.

Для упрощения, воспользуемся известными таблицами преобразований Лапласа.

Разложим функцию ( f(t) ) на слагаемые:

1. ( 4t )
2. ( -3 )
3. ( (5 - 3 \cos 5t)e^{-3t} )
4. ( -t e^{2t} )
5. ( \cos t )
6. ( 4 \sin 4t )

Преобразование каждого слагаемого:

1. Для ( 4t ):
   L\{t\} = \frac{1}{s^2}, поэтому:
   L\{4t\} = \frac{4}{s^2}.

2. Для ( -3 ):
   L\{C\} = \frac{C}{s}, поэтому:
   L\{-3\} = \frac{-3}{s}.

3. Для ( (5 - 3 \cos 5t)e^{-3t} ):
   Используем свойство сдвига:
   Если L\{g(t)\} = G(s), то L\{e^{at}g(t)\} = G(s-a).

   • Для ( 5 ): L\{5\} = \frac{5}{s+3}.
   • Для ( -3 \cos 5t ):
     L\{\cos \omega t\} = \frac{s}{s^2 + \omega^2}, поэтому:
     L\{-3 \cos 5t\} = -3 \cdot \frac{s+3}{(s+3)^2 + 25}.

4. Таким образом:
   L\{(5 - 3 \cos 5t)e^{-3t}\} = \frac{5}{s+3} - 3 \cdot \frac{s+3}{(s+3)^2 + 25}.

5. Для ( -t e^{2t} ):
   Используем свойство сдвига. Для ( t ), как уже найдено, L\{t\} = \frac{1}{s^2}.
   Применяя сдвиг:
   L\{-t e^{2t}\} = -\frac{1}{(s-2)^2}.

6. Для ( \cos t ):
   L\{\cos t\} = \frac{s}{s^2 + 1}.

7. Для ( 4 \sin 4t ):
   L\{\sin \omega t\} = \frac{\omega}{s^2 + \omega^2}, поэтому:
   L\{4 \sin 4t\} = 4 \cdot \frac{4}{s^2 + 16} = \frac{16}{s^2 + 16}.

Итоговое преобразование:

Соберем все слагаемые:
 F(s) = \frac{4}{s^2} - \frac{3}{s} + \frac{5}{s+3} - 3 \cdot \frac{s+3}{(s+3)^2 + 25} - \frac{1}{(s-2)^2} + \frac{s}{s^2 + 1} + \frac{16}{s^2 + 16}. 

Это и есть преобразование Лапласа функции ( f(t) ).