Найти предел следующего выражения при x стремящемся к бесконечности

Данное задание относится к предмету математика и разделу математического анализа, а именно к изучению пределов.

Необходимо найти предел следующего выражения при \( x \) стремящемся к бесконечности: \[ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{7x + 3}{7x - 3} \right)^x \]

Рассмотрим это выражение пошагово.

1. Определение внутреннего выражения под знаком предела: \[ \frac{7x + 3}{7x - 3} \]
2. Проанализируем поведение знаменателя и числителя при \( x \) стремящемся к бесконечности:
   • \[ 7x + 3 \approx 7x \quad \text{при} \quad x \to \infty \]
   • \[ 7x - 3 \approx 7x \quad \text{при} \quad x \to \infty \]
3. Упростим внутреннее выражение: \[ \frac{7x + 3}{7x - 3} = \frac{7 \left( x + \frac{3}{7} \right)}{7 \left( x - \frac{3}{7} \right)} = \frac{x + \frac{3}{7}}{x - \frac{3}{7}} \]
   При \( x \to \infty \), упрощённое выражение стремится к 1: \[ \frac{x + \frac{3}{7}}{x - \frac{3}{7}} \approx 1 + \frac{\frac{6}{7}}{x - \frac{3}{7}} \]
4. Запишем предел внутреннего выражения: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{7x + 3}{7x - 3} = \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{\frac{6}{7}}{x - \frac{3}{7}} \right) \]
   Внутреннее выражение \( \frac{\frac{6}{7}}{x - \frac{3}{7}} \) при \( x \to \infty \) стремится к нулю, поэтому: \[ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{\frac{6}{7}}{x - \frac{3}{7}} \right) = 1 \]
5. Применим полученное: \[ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{7x + 3}{7x - 3} \right)^x = \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{\frac{6}{7}}{x - \frac{3}{7}} \right)^x \]
   Используем известный предел: \[ \left(1 + \frac{a}{x}\right)^x = e^a \] где \( a = \frac{6}{7} \).
6. Подставим значение \( a \): \[ \left( 1 + \frac{6/7}{x} \right)^x \approx e^{6/7} \quad \text{при} \quad x \to \infty \]

Итак, предел данного выражения равен: \[ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{7x + 3}{7x - 3} \right)^x = e^{\frac{6}{7}} \]

Ответ: \[ e^{\frac{6}{7}} \]