Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность

Предмет и раздел предмета:

Этот вопрос относится к курсу математического анализа или векторного исчисления, в частности, к разделу, связанному с потоками и теоремой дивергенций (Гаусса-Остроградского).

Задание:

Найти поток векторного поля \(\mathbf{F} = 2x\mathbf{i} + 2y\mathbf{j} + 2z\mathbf{k}\) через замкнутую поверхность \(S\), определенную уравнением \(x^2 + y^2 = 2z\) и \(z = 2\).

Решение:

1. Понять фигуру: Поверхность \(x^2 + y^2 = 2z\) представляет собой эллиптический параболоид, который пересекается с плоскостью \(z = 2\).
2. Метод решения: Так как поверхность замкнута, применим теорему Гаусса-Остроградского, согласно которой поток векторного поля через замкнутую поверхность равен интегралу от дивергенции векторного поля по объему, заключенному внутри этой поверхности. \[\iint\limits_{S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint\limits_{V} (\nabla \cdot \mathbf{F}) \, dV\]
3. Вычисление дивергенции: Дивергенция векторного поля \(\mathbf{F} = 2x\mathbf{i} + 2y\mathbf{j} + 2z\mathbf{k}\) равна: \[ \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial (2x)}{\partial x} + \frac{\partial (2y)}{\partial y} + \frac{\partial (2z)}{\partial z} = 2 + 2 + 2 = 6 \]
4. Определение объема \(V\): Объем \(V\) представляет собой параболоид, ограниченный параллельной плоскостью \(z = 2\).
5. Подстановка значений: Теперь необходимо вычислить тройной интеграл \(\iiint\limits_{V} 6 \, dV\). Преобразуем это в цилиндрические координаты для удобства (\(x = r\cos\theta\), \(y = r\sin\theta\), \(z = z\)), тогда уравнение поверхности \(S\) становится: \[ r^2 = 2z \implies z = \frac{r^2}{2} \]
6. Пределы интегрирования: \(r\) изменяется от 0 до \( \sqrt{4} \) или 2 (так как \(z = 2\) это верхняя граница), \( \theta \) от 0 до \(2\pi\), а \(z\) от 0 до 2.
7. Интеграл: \[ \iiint\limits_{V} 6 \, dV = 6 \iiint\limits_{V} r \, dr \, d\theta \, dz \]
8. Вычисления: \[ 6 \int\limits_{0}^{2\pi} \int\limits_{0}^{2} \int\limits_{0}^{\sqrt{2z}} r \, dr \, dz \, d\theta \] Сначала вычисляем по \(r\): \[ \int\limits_{0}^{\sqrt{2z}} r \, dr = \left[ \frac{r^2}{2} \right]_0^{\sqrt{2z}} = \frac{(2z)}{2} = z \]
9. Вычисляем по \(z\): \[ 6 \int\limits_{0}^{2\pi} \int\limits_{0}^{2} z \, dz \, d\theta = 6 \int\limits_{0}^{2\pi} \left[ \frac{z^2}{2} \right]_0^2 \, d\theta = 6 \int\limits_{0}^{2\pi} \frac{4}{2} \, d\theta = 6 \int\limits_{0}^{2\pi} 2 \, d\theta = 12 \int\limits_{0}^{2\pi} d\theta \]
10. Вычисляем по \( \theta \): \[ 12 \left[ \theta \right]_0^{2\pi} = 12 \cdot 2\pi = 24\pi \] Таким образом, поток векторного поля \(\mathbf{F}\) через поверхность \(S\) равен \(24\pi\).