Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность

Предмет и раздел предмета:

Этот вопрос относится к курсу математического анализа или векторного исчисления, в частности, к разделу, связанному с потоками и теоремой дивергенций (Гаусса-Остроградского).

Задание:

Найти поток векторного поля $\text{(}\mathbf{F}=2x\mathbf{i}+2y\mathbf{j}+2z\mathbf{k}\text{)}$ через замкнутую поверхность $\text{(}S\text{)}$, определенную уравнением $\text{(}{x}^2+y^2=2z\text{)}$ и $\text{(}z=2\text{)}$.

Решение:

1. Понять фигуру: Поверхность $\text{(}{x}^2+y^2=2z\text{)}$ представляет собой эллиптический параболоид, который пересекается с плоскостью $\text{(}z=2\text{)}$.
2. Метод решения: Так как поверхность замкнута, применим теорему Гаусса-Остроградского, согласно которой поток векторного поля через замкнутую поверхность равен интегралу от дивергенции векторного поля по объему, заключенному внутри этой поверхности. $\text{[}\underset{S}{\iint }\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\underset{V}{\iiint }(\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{F})dV\text{]}$
3. Вычисление дивергенции: Дивергенция векторного поля $\text{(}\mathbf{F}=2x\mathbf{i}+2y\mathbf{j}+2z\mathbf{k}\text{)}$ равна: $\text{[}\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{F}=\frac{\mathrm{\partial }(2x)}{\mathrm{\partial }x}+\frac{\mathrm{\partial }(2y)}{\mathrm{\partial }y}+\frac{\mathrm{\partial }(2z)}{\mathrm{\partial }z}=2+2+2=6\text{]}$
4. Определение объема \(V\): Объем $\text{(}V\text{)}$ представляет собой параболоид, ограниченный параллельной плоскостью $\text{(}z=2\text{)}$.
5. Подстановка значений: Теперь необходимо вычислить тройной интеграл $\text{(}\underset{V}{\iiint }6dV\text{)}$. Преобразуем это в цилиндрические координаты для удобства ($\text{(}x=r\cos \theta \text{)}$, $\text{(}y=r\sin \theta \text{)}$, $\text{(}z=z\text{)}$), тогда уравнение поверхности $\text{(}S\text{)}$ становится: $\text{[}{r}^2=2z⟹z=\frac{r^2}{2}\text{]}$
6. Пределы интегрирования: $\text{(}r\text{)}$ изменяется от 0 до $\text{(}\sqrt{4}\text{)}$ или 2 (так как $\text{(}z=2\text{)}$ это верхняя граница), $\text{(}\theta \text{)}$ от 0 до $\text{(}2\pi \text{)}$, а $\text{(}z\text{)}$ от 0 до 2.
7. Интеграл: $\text{[}\underset{V}{\iiint }6dV=6\underset{V}{\iiint }rdrd\theta dz\text{]}$
8. Вычисления: $\text{[}6\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{2}{\int }}\underset{0}{\overset{\sqrt{2z}}{\int }}rdrdzd\theta \text{]}$ Сначала вычисляем по $\text{(}r\text{)}$: $\text{[}\underset{0}{\overset{\sqrt{2z}}{\int }}rdr={\left[\frac{r^2}{2}\right]}_0^{\sqrt{2z}}=\frac{(2z)}{2}=z\text{]}$
9. Вычисляем по \(z\): $\text{[}6\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{2}{\int }}zdzd\theta =6\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{\left[\frac{z^2}{2}\right]}_0^{2}d\theta =6\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{4}{2}d\theta =6\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}2d\theta =12\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\theta \text{]}$
10. Вычисляем по \( \theta \): $\text{[}12{\left[\theta \right]}_0^{2\pi }=12\cdot 2\pi =24\pi \text{]}$ Таким образом, поток векторного поля $\text{(}\mathbf{F}\text{)}$ через поверхность $\text{(}S\text{)}$ равен $\text{(}24\pi \text{)}$.