Найти полный дифференциал z=(x)^y^3

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Нам требуется найти полный дифференциал функции двух переменных:

z = x^{y^3}

Шаг 1. Обозначим функцию:

z = x^{y^3}

Здесь x и y — независимые переменные, а z — функция от x и y.

Шаг 2. Вспомним формулу полного дифференциала

Полный дифференциал функции z = f(x, y) выражается как:

 dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy 

Найдем частные производные \frac{\partial z}{\partial x} и \frac{\partial z}{\partial y}.

Шаг 3. Найдём \frac{\partial z}{\partial x}

Поскольку y — константа при дифференцировании по x, выражение z = x^{y^3} можно рассматривать как степенную функцию с постоянным показателем степени:

 \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{d}{dx} \left( x^{y^3} \right) = y^3 \cdot x^{y^3 - 1} 

Шаг 4. Найдём \frac{\partial z}{\partial y}

Здесь y входит в показатель степени, поэтому используем логарифмическое дифференцирование:

 z = x^{y^3} = e^{y^3 \ln x} 

Теперь продифференцируем по y:

 \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{d}{dy} \left( e^{y^3 \ln x} \right) = e^{y^3 \ln x} \cdot \frac{d}{dy}(y^3 \ln x) 

 \frac{d}{dy}(y^3 \ln x) = 3y^2 \ln x 

Итак:

 \frac{\partial z}{\partial y} = x^{y^3} \cdot 3y^2 \ln x 

Шаг 5. Подставим в формулу полного дифференциала:

 dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy = y^3 x^{y^3 - 1} dx + x^{y^3} \cdot 3y^2 \ln x \, dy 

Ответ:

 dz = y^3 x^{y^3 - 1} dx + 3y^2 x^{y^3} \ln x \, dy 

Если остались вопросы — с радостью помогу!