Конечно, определим предмет и раздел предмета для вашего задания.
Предмет: Математика Раздел: Интегральное исчисление (вычисление определенных интегралов)
Теперь решим задание: Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями \(y = \frac{2}{x}\), \(y = 0\), \(x = 1\), и \(x = 4\), мы будем использовать определенный интеграл.
- Определение границ интегрирования: Границы интегрирования задаются вертикальными линиями \(x = 1\) и \(x = 4\). Так что мы будем интегрировать по \(x\) от 1 до 4.
- Определение подынтегральной функции: Верхняя граница функции задается кривой \(y = \frac{2}{x}\), а нижняя граница функции задается прямой \(y = 0\).
- Запись интеграла для нахождения площади: Площадь \(A\) находится как интеграл от функции \(\frac{2}{x}\) по \(x\) в пределе от 1 до 4:
\[
A = \int_{1}^{4} \frac{2}{x} \, dx
\]
- Вычисление интеграла: Мы знаем, что интеграл от \(\frac{1}{x}\) равен \(\ln |x|\). Следовательно:
\[
\int \frac{2}{x} \, dx = 2 \ln |x|
\]
- Подставляем пределы интегрирования в найденный первообразный:
\[
A = \left[ 2 \ln |x| \right]_{1}^{4}
\] Это означает, что мы подставляем верхний предел \(x = 4\) и вычитаем значение при нижнем пределе \(x = 1\):
\[
A = 2 \ln |4| - 2 \ln |1|
\]
- Вычисляем значения логарифмов: Мы знаем, что \(\ln 4\) — это логарифм числа 4, а \(\ln 1\) = 0, так как натуральный логарифм единицы равен нулю:
\[
A = 2 \ln 4 - 2 \ln 1 = 2 \ln 4 - 0
\]
- Упрощаем выражение: Осталось:
\[
A = 2 \ln 4
\]
- Окончательный результат: Можно оставить ответ в виде \(2 \ln 4\), либо, если нужно числовое значение, можно приблизительно вычислить \(\ln 4\):
\[
\ln 4 \approx 1.386
\] Соответственно, числовое значение площади будет:
\[
A \approx 2 \times 1.386 = 2.772
\] Итак, площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна \(2 \ln 4\) или приблизительно 2.772 в числовом выражении.