Найти параметры линейной зависимости методом наименьших квадратов

Это задание из области математики, конкретнее из раздела «Методы наименьших квадратов». Метод наименьших квадратов (МНК) применяется для нахождения параметров \( a \) и \( b \) линейной зависимости \( y = ax + b \). Давайте подробно решим это задание.

1. Записываем данные: \[ \begin{array}{cc} x_i & 1,0 & 1,5 & 2,0 & 3,0 & 3,2 \\ y_i & 8,1 & 9,0 & 11,2 & 13,8 & 14,7 \\ \end{array} \]
2. Находим сумму значений \( x \) и \( y \): \[ \sum x_i = 1,0 + 1,5 + 2,0 + 3,0 + 3,2 = 10,7 \] \[ \sum y_i = 8,1 + 9,0 + 11,2 + 13,8 + 14,7 = 56,8 \]
3. Найдем сумму произведений \( x_i y_i \): \[ \sum x_i y_i = (1,0 \cdot 8,1) + (1,5 \cdot 9,0) + (2,0 \cdot 11,2) + (3,0 \cdot 13,8) + (3,2 \cdot 14,7) \] \[ = 8,1 + 13,5 + 22,4 + 41,4 + 47,04 = 132,44 \]
4. Находим сумму квадратов значений \( x \): \[ \sum x_i^2 = (1,0)^2 + (1,5)^2 + (2,0)^2 + (3,0)^2 + (3,2)^2 \] \[ = 1 + 2,25 + 4 + 9 + 10,24 = 26,49 \]
5. Находим коэффициенты \( a \) и \( b \) используя следующие формулы: \[ a = \frac{n \sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i}{n \sum x_i^2 - (\sum x_i)^2} \] \[ b = \frac{\sum y_i - a \sum x_i}{n} \] где \( n \) — количество точек (в нашем случае \( n = 5 \)). Подставляем числа в формулу для \( a \): \[ a = \frac{5 \cdot 132,44 - 10,7 \cdot 56,8}{5 \cdot 26,49 - (10,7)^2} \] \[ = \frac{662,2 - 608,56}{132,45 - 114,49} \] \[ = \frac{53,64}{17,96} \approx 2,986 \] Подставляем \( a \) в формулу для \( b \): \[ b = \frac{56,8 - 2,986 \cdot 10,7}{5} \] \[ = \frac{56,8 - 31,1442}{5} \] \[ = \frac{25,6558}{5} \approx 5,131 \] Итак, параметры линейной зависимости \( y = ax + b \) методом наименьших квадратов: \[ a \approx 2,986 \] \[ b \approx 5,131 \] Ответ: линейная зависимость: \( y \approx 2,986x + 5,131 \)