Найти параметры линейной зависимости методом наименьших квадратов

Это задание из области математики, конкретнее из раздела «Методы наименьших квадратов». Метод наименьших квадратов (МНК) применяется для нахождения параметров $\text{(}a\text{)}$ и $\text{(}b\text{)}$ линейной зависимости $\text{(}y=ax+b\text{)}$. Давайте подробно решим это задание.

1. Записываем данные: $\text{[}\begin{array}{cccccc}{x}_i& 1,0& 1,5& 2,0& 3,0& 3,2\\ y_i& 8,1& 9,0& 11,2& 13,8& 14,7\end{array}\text{]}$
2. Находим сумму значений $\text{(}x\text{)}$ и $\text{(}y\text{)}$: $\text{[}\sum x_i=1,0+1,5+2,0+3,0+3,2=10,7\text{]}$ $\text{[}\sum y_i=8,1+9,0+11,2+13,8+14,7=56,8\text{]}$
3. Найдем сумму произведений $\text{(}{x}_i{y}_i\text{)}$: $\text{[}\sum x_i{y}_i=(1,0\cdot 8,1)+(1,5\cdot 9,0)+(2,0\cdot 11,2)+(3,0\cdot 13,8)+(3,2\cdot 14,7)\text{]}$ $\text{[}=8,1+13,5+22,4+41,4+47,04=132,44\text{]}$
4. Находим сумму квадратов значений $\text{(}x\text{)}$: $\text{[}\sum x_i^2=(1,0{)}^2+(1,5{)}^2+(2,0{)}^2+(3,0{)}^2+(3,2{)}^2\text{]}$ $\text{[}=1+2,25+4+9+10,24=26,49\text{]}$
5. Находим коэффициенты $\text{(}a\text{)}$ и $\text{(}b\text{)}$ используя следующие формулы: $\text{[}a=\frac{n\sum x_i{y}_i-\sum x_i\sum y_i}{n\sum x_i^2-(\sum x_i{)}^2}\text{]}$ $\text{[}b=\frac{\sum y_i-a\sum x_i}{n}\text{]}$ где $\text{(}n\text{)}$ — количество точек (в нашем случае $\text{(}n=5\text{)}$). Подставляем числа в формулу для $\text{(}a\text{)}$: $\text{[}a=\frac{5\cdot 132,44-10,7\cdot 56,8}{5\cdot 26,49-(10,7{)}^2}\text{]}$ $\text{[}=\frac{662,2-608,56}{132,45-114,49}\text{]}$ $\text{[}=\frac{53,64}{17,96}\approx 2,986\text{]}$ Подставляем $\text{(}a\text{)}$ в формулу для $\text{(}b\text{)}$: $\text{[}b=\frac{56,8-2,986\cdot 10,7}{5}\text{]}$ $\text{[}=\frac{56,8-31,1442}{5}\text{]}$ $\text{[}=\frac{25,6558}{5}\approx 5,131\text{]}$ Итак, параметры линейной зависимости $\text{(}y=ax+b\text{)}$ методом наименьших квадратов: $\text{[}a\approx 2,986\text{]}$ $\text{[}b\approx 5,131\text{]}$ Ответ: линейная зависимость: $\text{(}y\approx 2,986x+5,131\text{)}$