Найти определитель Вронского (вронскиан) для системы функций

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения

Задача:

Найти определитель Вронского (вронскиан) для системы функций:
y_1 = x и y_2 = \cos x.

Решение:

Определитель Вронского для двух функций y_1(x) и y_2(x) определяется как:

 W(y_1, y_2)(x) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \ y_1' & y_2' \end{vmatrix} = y_1 \cdot y_2' - y_2 \cdot y_1'. 

Подставим функции:
y_1 = x и y_2 = \cos x.

1. Найдём производные:

   • y_1' = \frac{d}{dx}(x) = 1,
   • y_2' = \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x.

2. Подставим в формулу Вронскиана:
    W(x, \cos x) = \begin{vmatrix} x & \cos x \ 1 & -\sin x \end{vmatrix} = x \cdot (-\sin x) - \cos x \cdot 1. 

3. Упростим выражение:
    W(x, \cos x) = -x \sin x - \cos x. 

Ответ:

Определитель Вронского для заданной системы функций:
W(x, \cos x) = -x \sin x - \cos x.