Найти общий вид решения линейного неоднородного дифференциального уравнения

Определение предмета:

• Предмет: Дифференциальные уравнения.
• Раздел: Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, включая нахождение общего вида решения для неоднородного уравнения.

Задание:

Найти общий вид решения линейного неоднородного дифференциального уравнения:

\[ y'''' + 2y''' + 2y'' + 2y' + y = xe^x + \frac{1}{2} \cos x \] (без вычисления конкретных коэффициентов).

Пояснение:

Линейное неоднородное уравнение можно решать в два этапа:

1. Нахождение общего вида решения однородного уравнения (без правой части, т.е. уравнения с правой частью равной нулю).
2. Нахождение частного решения неоднородного уравнения (по правой части уравнения, которая является функцией \( xe^x + \frac{1}{2} \cos x \)).

Шаг 1: Решение однородного уравнения

Для начала, рассмотрим однородную часть уравнения — равенство левой стороны уравнения нулю:

\[ y'''' + 2y''' + 2y'' + 2y' + y = 0. \]

Для решения однородного дифференциального уравнения сначала находим характеристическое уравнение. Это уравнение получают, подставляя решение вида \( y = e^{\lambda x} \) в исходное уравнение:

\[ \lambda^4 + 2\lambda^3 + 2\lambda^2 + 2\lambda + 1 = 0. \]

Это — характеристическое уравнение для однородного уравнения. Теперь необходимо найти его корни. Корни характеристического уравнения определяют вид общего решения. Характеристическое уравнение можно попробовать разложить (например, методом подстановки или другим методом), но без разложения конкретных коэффициентов пока оставим корни в общем виде:

Допустим, корни полученного характеристического уравнения имеют следующий вид:

• \( \lambda_1, \lambda_2 = -1 \) (двукратный корень),
• \( \lambda_3, \lambda_4 = \pm i \) (комплексные сопряженные корни, которые возникли из квадратичной формы в уравнении).

Общее решение однородного уравнения:

Для каждого корня у нас есть соответствующее решение:

• Для корня \( \lambda_1 = -1 \) и его кратности 2: решения будут \( e^{-x} \) и \( x e^{-x} \) (второе решение добавляется из-за кратности).
• Для комплексных корней \( \lambda = \pm i \), решения будут иметь вид \( \cos x \) и \( \sin x \).

Поэтому общее решение однородного уравнения будет иметь вид:

\[ y_{\text{общая}} = C_1 e^{-x} + C_2 x e^{-x} + C_3 \cos x + C_4 \sin x, \]

где \( C_1, C_2, C_3, C_4 \) — произвольные постоянные коэффициенты.

Шаг 2: Нахождение частного решения неоднородного уравнения

Теперь рассмотрим правую часть исходного уравнения: \( xe^x + \frac{1}{2} \cos x \). Для нахождения частного решения нужно применить метод подбора частного решения в зависимости от формы этой функции.

Для слагаемого \( xe^x \):

Поскольку \( e^x \) — это экспоненциальная функция, и правая часть содержит умножение на \( x \), попробуем взять частное решение в виде:

\[ y_{\text{ч1}} = (Ax^2 + Bx) e^x. \]

Здесь коэффициенты \( A \) и \( B \) — это неизвестные параметры, которые найдутся из подстановки в уравнение, но мы их не будем вычислять на этом этапе.

Для слагаемого \( \frac{1}{2} \cos x \):

Для части с \( \cos x \) мы можем предположить частное решение в виде:

\[ y_{\text{ч2}} = D \cos x + E \sin x. \]

Опять же, значения \( D \) и \( E \) найдутся после подстановки в уравнение, но их точные значения пока не важны.

Частное решение неоднородного уравнения:

Частное решение имеет следующий вид:

\[ y_{\text{частное}} = (Ax^2 + Bx) e^x + D \cos x + E \sin x. \]

Шаг 3: Общее решение неоднородного уравнения

Общее решение линейного неоднородного уравнения — это сумма общего решения однородного уравнения и частного решения. Поэтому:

\[ y_{\text{общее}} = y_{\text{общая}} + y_{\text{частное}}. \]

Подставляем:

\[ y_{\text{общее}} = C_1 e^{-x} + C_2 x e^{-x} + C_3 \cos x + C_4 \sin x + (Ax^2 + Bx) e^x + D \cos x + E \sin x. \]

Ответ:

Общий вид решения дифференциального уравнения:

\[ y(x) = C_1 e^{-x} + C_2 x e^{-x} + C_3 \cos x + C_4 \sin x + (Ax^2 + Bx) e^x + D \cos x + E \sin x. \]

Здесь \( C_1, C_2, C_3, C_4, A, B, D, E \) — произвольные постоянные, которые могут быть определены из начальных или граничных условий.