Найти общий интеграл

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальные уравнения

Дано дифференциальное уравнение: \[ 4x \, dx - 3y \, dy = 3x^2 y \, dy - 2xy^2 \, dx. \]

Нужно найти общий интеграл. Разберем решение по шагам.

Шаг 1: Представим уравнение в стандартном виде

Приведем уравнение в общем виде \( M \, dx + N \, dy = 0 \). Распишем коэффициенты при \( dx \) и \( dy \):

• Коэффициент \( dx \): \( 4x - 2xy^2 \),
• Коэффициент \( dy \): \(-3y + 3x^2y \).

Перепишем уравнение: \[ (4x - 2xy^2) \, dx + (-3y + 3x^2y) \, dy = 0. \]

Шаг 2: Проверим на точность уравнения

Уравнение называется точным, если выполняется условие: \[ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}. \]

Для \( M = 4x - 2xy^2 \) вычислим частную производную по \( y \):

\[ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(4x - 2xy^2) = -2x \cdot 2y = -4xy. \]

Для \( N = -3y + 3x^2y \) вычислим частную производную по \( x \):

\[ \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(-3y + 3x^2y) = 6xy. \]

Так как \( \frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x} \), то уравнение не является точным.

Шаг 3: Применим метод приведения уравнения к точному

Попробуем найти интегрирующий множитель. В этом уравнении очевидным выбором будет \(\mu = \frac{1}{xy}\), так как он упрощает выражения.

Умножим уравнение на \(\frac{1}{xy}\):

\[ \frac{1}{xy} \big((4x - 2xy^2) \, dx + (-3y + 3x^2y) \, dy \big) = 0. \]

После умножения:

\[ \left(\frac{4}{y} - 2y\right) \, dx + \left(-\frac{3}{x} + 3x\right) \, dy = 0. \]

Теперь: \( M = \frac{4}{y} - 2y, \quad N = -\frac{3}{x} + 3x. \)

Шаг 4: Проверим точность преобразованного уравнения

Проверяем условие точности снова:

\[ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{4}{y} - 2y\right) = -\frac{4}{y^2} - 2, \]

\[ \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left(-\frac{3}{x} + 3x\right) = \frac{3}{x^2} + 3. \]

Так как \( \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} \), новое уравнение теперь точное.

Шаг 5: Найдем общий интеграл

Для точного уравнения общего вида \(M \, dx + N \, dy = 0\) существует потенциальная функция \(\Phi(x, y)\), такая что:

\[ \frac{\partial \Phi}{\partial x} = M, \quad \frac{\partial \Phi}{\partial y} = N. \]

Найдем \(\Phi(x, y)\). Интегрируем \(M = \frac{4}{y} - 2y\) по \(x\):

\[ \Phi(x, y) = \int \left(\frac{4}{y} - 2y\right) \, dx = \frac{4x}{y} - 2xy + C(y), \]

где \(C(y)\) — произвольная функция от \(y\).

Теперь найдем производную \(\Phi(x, y)\) по \(\partial y\) и приравняем к \(N\):

\[ \frac{\partial \Phi}{\partial y} = -\frac{4x}{y^2} - 2x + C'(y). \]

Приравниваем к \(N = -\frac{3}{x} + 3x\):

\[ -\frac{4x}{y^2} - 2x + C'(y) = -\frac{3}{x} + 3x. \]

Упростим:

\[ C'(y) = 0 \implies C(y) = \text{константа}. \]

Ответ

Общий интеграл уравнения: \[ \frac{4x}{y} - 2xy = C, \] где \(C\) — произвольная константа.