Найти общее решение уравнения y’’-(y’/(x-1))=x*(x-1)

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения (обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка)

Дано дифференциальное уравнение:

y'' - \frac{y'}{x - 1} = x(x - 1)

Цель — найти общее решение этого уравнения.

Шаг 1: Замена переменной

Обозначим y' = z, тогда y'' = z'. Подставим это в уравнение:

z' - \frac{z}{x - 1} = x(x - 1)

Это — линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции z(x).

Шаг 2: Приведем уравнение к стандартному виду

z' + P(x) z = Q(x)

Перепишем:

z' - \frac{1}{x - 1} z = x(x - 1)

Здесь:

• P(x) = -\frac{1}{x - 1}
• Q(x) = x(x - 1)

Шаг 3: Найдём интегрирующий множитель

Интегрирующий множитель:

\mu(x) = \exp\left(\int P(x)\, dx\right) = \exp\left(\int -\frac{1}{x - 1}\, dx\right) = \exp\left(-\ln|x - 1|\right) = \frac{1}{|x - 1|}

Поскольку мы решаем на интервале, где x \ne 1, допустим x > 1, тогда |x - 1| = x - 1, и интегрирующий множитель:

\mu(x) = \frac{1}{x - 1}

Шаг 4: Умножим уравнение на интегрирующий множитель

\frac{1}{x - 1} z' - \frac{1}{(x - 1)^2} z = \frac{x(x - 1)}{x - 1} = x

Левая часть — производная произведения:

\frac{d}{dx} \left( \frac{z}{x - 1} \right ) = x

Шаг 5: Интегрируем обе части

\frac{d}{dx} \left( \frac{z}{x - 1} \right ) = x \Rightarrow \frac{z}{x - 1} = \int x\, dx = \frac{x^2}{2} + C_1

Теперь выразим z:

z = (x - 1)\left( \frac{x^2}{2} + C_1 \right)

Шаг 6: Напомним, что z = y', подставим:

y' = (x - 1)\left( \frac{x^2}{2} + C_1 \right)

Шаг 7: Интегрируем y':

y = \int \left( (x - 1)\left( \frac{x^2}{2} + C_1 \right) \right) dx

Раскроем скобки:

y = \int \left( \frac{x^3}{2} - \frac{x^2}{2} + C_1 x - C_1 \right) dx

Выполним интегрирование:

 y = \frac{x^4}{8} - \frac{x^3}{6} + \frac{C_1 x^2}{2} - C_1 x + C_2 

Ответ:

Общее решение уравнения:

 y(x) = \frac{x^4}{8} - \frac{x^3}{6} + \frac{C_1 x^2}{2} - C_1 x + C_2 

где C_1 и C_2 — произвольные постоянные.