Найти общее решение уравнения tgx*y’’-y’=-(1/sinx)

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения (обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка)

Рассмотрим данное дифференциальное уравнение:

 \tg x \cdot y'' - y' = -\frac{1}{\sin x} 

Наша цель — найти общее решение этого уравнения.

Шаг 1: Введение обозначения

Обозначим  y' = p , тогда  y'' = p' . Подставим в уравнение:

 \tg x \cdot p' - p = -\frac{1}{\sin x} 

Это уравнение первого порядка относительно функции  p(x) .

Шаг 2: Приведение уравнения к стандартному виду

Перепишем уравнение:

 \tg x \cdot p' = p - \frac{1}{\sin x} 

Разделим обе части на  \tg x :

 p' = \frac{p}{\tg x} - \frac{1}{\sin x \cdot \tg x} 

Напомним, что  \tg x = \frac{\sin x}{\cos x} , тогда:

 \frac{1}{\tg x} = \frac{\cos x}{\sin x} 

и

 \frac{1}{\sin x \cdot \tg x} = \frac{1}{\sin x \cdot (\sin x / \cos x)} = \frac{\cos x}{\sin^2 x} 

Подставим:

 p' = \frac{p \cos x}{\sin x} - \frac{\cos x}{\sin^2 x} 

Шаг 3: Решение уравнения

Получили линейное уравнение первого порядка:

 p' - \frac{\cos x}{\sin x} p = -\frac{\cos x}{\sin^2 x} 

Это линейное уравнение вида:

 p' + P(x) p = Q(x) 

где:

•  P(x) = -\frac{\cos x}{\sin x} 
•  Q(x) = -\frac{\cos x}{\sin^2 x} 

Решается методом интегрирующего множителя.

Шаг 4: Интегрирующий множитель

Интегрирующий множитель:

 \mu(x) = e^{\int P(x) dx} = e^{-\int \frac{\cos x}{\sin x} dx} 

Заметим, что  \int \frac{\cos x}{\sin x} dx = \ln |\sin x| , тогда:

 \mu(x) = e^{-\ln |\sin x|} = \frac{1}{|\sin x|} 

(можно взять просто  \mu(x) = \frac{1}{\sin x} , если предполагается  \sin x > 0 )

Шаг 5: Умножим уравнение на интегрирующий множитель

Умножим всё уравнение на  \frac{1}{\sin x} :

 \frac{1}{\sin x} p' - \frac{\cos x}{\sin^2 x} p = -\frac{\cos x}{\sin^3 x} 

Левая часть — производная произведения:

 \left( \frac{p}{\sin x} \right)' = -\frac{\cos x}{\sin^3 x} 

Шаг 6: Интегрирование

Интегрируем обе части:

 \frac{p}{\sin x} = \int -\frac{\cos x}{\sin^3 x} dx + C 

В правой части — стандартный интеграл. Сделаем замену:

Пусть  u = \sin x , тогда  du = \cos x dx , и:

 \int -\frac{\cos x}{\sin^3 x} dx = - \int \frac{1}{u^3} du = \frac{1}{2 u^2} + C = \frac{1}{2 \sin^2 x} + C 

Подставим:

 \frac{p}{\sin x} = \frac{1}{2 \sin^2 x} + C 

Умножим на  \sin x :

 p = \frac{1}{2 \sin x} + C \sin x 

Шаг 7: Найдём  y(x) 

Напомним, что  p = y' , тогда:

 y' = \frac{1}{2 \sin x} + C \sin x 

Интегрируем:

 y = \int \left( \frac{1}{2 \sin x} + C \sin x \right) dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sin x} dx + C \int \sin x dx 

Вспомним, что:

•  \int \frac{1}{\sin x} dx = \ln \left| \tg \frac{x}{2} \right| + C_1 
•  \int \sin x dx = -\cos x + C_2 

Тогда:

 y(x) = \frac{1}{2} \ln \left| \tg \frac{x}{2} \right| - C \cos x + C_1 

Ответ:

Общее решение уравнения:

 y(x) = \frac{1}{2} \ln \left| \tg \frac{x}{2} \right| - C \cos x + C_1 

где  C, C_1  — произвольные постоянные.