Найти общее решение уравнения 3y'(1+(y')^2)=y'' в неявной форме

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения (обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка)

Рассмотрим уравнение:

3y'(1+(y')^2) = y''

Обозначим производную y' как p = y', тогда y'' = p \dfrac{dp}{dy} (так как p = \dfrac{dy}{dx}, то \dfrac{dp}{dx} = \dfrac{dp}{dy} \cdot \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dp}{dy} \cdot p)

Подставим это в исходное уравнение:

3p(1 + p^2) = p \dfrac{dp}{dy}

Разделим обе части на p (предполагая, что p \ne 0):

3(1 + p^2) = \dfrac{dp}{dy}

Теперь у нас обычное дифференциальное уравнение первого порядка для p(y):

\dfrac{dp}{dy} = 3(1 + p^2)

Это уравнение можно решить методом разделения переменных:

\dfrac{dp}{1 + p^2} = 3 \, dy

Интегрируем обе части:

\int \dfrac{dp}{1 + p^2} = \int 3 \, dy

\arctan(p) = 3y + C

Теперь выразим p:

p = \tan(3y + C)

Напомним, что p = \dfrac{dy}{dx}, значит:

\dfrac{dy}{dx} = \tan(3y + C)

Это уравнение уже более сложно решить явно, но мы можем попытаться разделить переменные:

\dfrac{dy}{\tan(3y + C)} = dx

Интегрировать левую часть можно, сделав замену u = 3y + C, тогда du = 3dy, и:

\int \dfrac{dy}{\tan(3y + C)} = \dfrac{1}{3} \int \dfrac{du}{\tan u} = \dfrac{1}{3} \int \cot u \, du = \dfrac{1}{3} \ln|\sin u| + C_1

Подставим u = 3y + C обратно:

\dfrac{1}{3} \ln|\sin(3y + C)| = x + C_2

Это и есть общее решение уравнения в неявной форме.

Ответ:
Общее решение уравнения 3y'(1+(y')^2)=y'' в неявной форме:

\dfrac{1}{3} \ln|\sin(3y + C)| = x + C_2