Найти общее решение уравнения

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальные уравнения, линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Решим первое уравнение 1.1a):

Уравнение имеет вид: \[ y'' + 4y = 0 \]

Это — линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Шаг 1: Решим характеристическое уравнение

Записываем характеристическое уравнение, подставив решение вида \( y = e^{\lambda x} \) в дифференциальное уравнение:

\[ \lambda^2 + 4 = 0 \]

Шаг 2: Нахождение корней характеристического уравнения

\[ \lambda^2 = -4 \]

\[ \lambda = \pm 2i \]

Корни характеристического уравнения комплексные: \( \lambda = \pm 2i \).

Для решения уравнения с комплексными корнями используется следующая форма общего решения:

\[ y(x) = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \]

где \( C_1 \) и \( C_2 \) — произвольные постоянные.

Ответ:

Общее решение уравнения: \[ y(x) = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \]