Найти общее решение уравнени

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения

1. Найти общее решение уравнения ( x y'' = y' )

Перепишем уравнение в стандартной форме: [ x y'' - y' = 0 ]

Это однородное линейное уравнение второго порядка. Решим его, предполагая, что ( y = x^n ). Подставим ( y = x^n ) в уравнение:

1. Первая производная: [ y' = n x^{n-1} ]

2. Вторая производная: [ y'' = n(n-1)x^{n-2} ]

Подставим ( y', y'' ) в уравнение: [ x \cdot n(n-1)x^{n-2} - n x^{n-1} = 0 ]

Упростим: [ n(n-1)x^{n-1} - n x^{n-1} = 0 ]

Вынесем общий множитель ( n x^{n-1} ): [ n x^{n-1} \big((n-1) - 1\big) = 0 ]

[ n x^{n-1} (n-2) = 0 ]

Так как ( x^{n-1} \neq 0 ), то ( n(n-2) = 0 ). Следовательно: [ n = 0 \quad \text{или} \quad n = 2 ]

Общее решение: [ y = C_1 x^0 + C_2 x^2 = C_1 + C_2 x^2 ]

2. Найти определитель Вронского для функций ( y_1 = x ) и ( y_2 = \cos x )

Определитель Вронского для двух функций ( y_1 ) и ( y_2 ) определяется как: [ W(y_1, y_2) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \ y_1' & y_2' \end{vmatrix} ]

Вычислим производные: [ y_1 = x, \quad y_1' = 1 ] [ y_2 = \cos x, \quad y_2' = -\sin x ]

Подставим в формулу: [ W(y_1, y_2) = \begin{vmatrix} x & \cos x \ 1 & -\sin x \end{vmatrix} ]

Вычислим определитель: [ W(y_1, y_2) = x(-\sin x) - 1(\cos x) ]

[ W(y_1, y_2) = -x \sin x - \cos x ]

Ответ: [ W(y_1, y_2) = -x \sin x - \cos x ]