Найти общее решение однородного уравнения

Это задание по математике, а конкретно решается дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Дадим подробное решение данного уравнения. Уравнение: y'' + 2y' + 2y = \cos(2x)

Шаг 1: Найдем общее решение однородного уравнения.

Однородное уравнение: y'' + 2y' + 2y = 0

Характеристическое уравнение: r^2 + 2r + 2 = 0

Решим характеристическое уравнение для нахождения корней. Используем квадратное уравнение формулы: r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

В этом случае a = 1, b = 2, c = 2: r = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}

r = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2}

r = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2}

r = \frac{-2 \pm 2i}{2}

r = -1 \pm i

Таким образом, корни уравнения r = -1 + i и r = -1 - i являются комплексными и сопряженными. Общее решение однородного уравнения: y_h(x) = e^{-x} (C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x))

Шаг 2: Найдем частное решение для неоднородного уравнения.

Неоднородная часть уравнения - \cos(2x). Для выделения частного решения будем использовать метод неопределенных коэффициентов. Предположим, что частное решение имеет вид: y_p(x) = A \cos(2x) + B \sin(2x)

Теперь найдем производные y_p(x): y_p'(x) = -2A \sin(2x) + 2B \cos(2x)

y_p''(x) = -4A \cos(2x) - 4B \sin(2x)

Подставим всё это обратно в изначальное уравнение: (-4A \cos(2x) - 4B \sin(2x)) + 2(-2A \sin(2x) + 2B \cos(2x)) + 2(A \cos(2x) + B \sin(2x)) = \cos(2x)

-4A \cos(2x) - 4B \sin(2x) - 4A \sin(2x) + 4B \cos(2x) + 2A \cos(2x) + 2B \sin(2x) = \cos(2x)

(-4A + 4B + 2A) \cos(2x) + (-4B - 4A + 2B) \sin(2x) = \cos(2x)

Чтобы уравнение было равным \cos(2x), коэффициенты при \cos(2x) и \sin(2x) должны быть равны правой части: \begin{cases} -2A + 4B = 1 \\ -4A - 2B = 0 \end{cases}

Решим систему уравнений: Из второго уравнения: -4A - 2B = 0

4A = -2B

B = -2A

Подставим значение B в первое уравнение: -2A + 4(-2A) = 1

-2A - 8A = 1

-10A = 1

A = -\frac{1}{10}

Теперь найдем B: B = -2A

B = -2 \left( -\frac{1}{10} \right)

B = \frac{2}{10}

B = \frac{1}{5}

Итак, частное решение: y_p(x) = -\frac{1}{10} \cos(2x) + \frac{1}{5} \sin(2x)

Шаг 3: Общее решение полного уравнения.

Общее решение состоит из однородного и частного решений: y(x) = y_h(x) + y_p(x)

y(x) = e^{-x} (C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)) - \frac{1/10} \cos(2x) + \frac{1/5} \sin(2x)

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения: y(x) = e^{-x} (C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)) - \frac{1/10} \cos(2x) + \frac{1/5} \sin(2x)