Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Необходимо найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения:
\[ xy' + y \left( \ln \left( \frac{y}{x} \right) - 1 \right) = 0. \]
Запишем уравнение в более удобной форме. Сначала раскроем скобки:
\[ xy' + y \ln \left( \frac{y}{x} \right) - y = 0. \]
Перенесем \( y \) в правую часть:
\[ xy' + y \ln \left( \frac{y}{x} \right) = y. \]
Теперь разделим обе стороны на \( x \), чтобы привести выражение к форме, удобной для анализа:
\[ y' + \frac{y}{x} \ln \left( \frac{y}{x} \right) = \frac{y}{x}. \]
Для упрощения решения воспользуемся заменой переменных:
\[ v = \frac{y}{x}. \]
Отсюда:
\[ y = vx \quad \text{и} \quad y' = v + x v'. \]
Подставим это в исходное уравнение:
\[ v + x v' + v \ln(v) = v. \]
После сокращения одинаковых членов (\( v \)) получаем:
\[ x v' + v \ln(v) = 0. \]
Разделим переменные в уравнении:
\[ x v' = -v \ln(v). \]
\[ \frac{v'}{v \ln(v)} = -\frac{1}{x}. \]
Теперь можем проинтегрировать обе стороны по \( x \). Левая часть будет интегрироваться по \( v \), а правая по \( x \).
Для интегрирования левой части используем замену \( u = \ln(v) \), тогда \( du = \frac{dv}{v} \), и уравнение примет вид:
\[ \int \frac{du}{u} = -\int \frac{dx}{x}. \]
Интегрируем обе части:
\[ \ln | \ln(v) | = -\ln|x| + C, \]
где \( C \) — произвольная постоянная интегрирования. Для удобства выражения запишем результат следующим образом:
\[ \ln | \ln(v) | = \ln \left( \frac{A}{x} \right), \]
где \( A = e^C \) — новая произвольная постоянная. Теперь возьмём экспоненту от обеих частей:
\[ |\ln(v)| = \frac{A}{x}. \]
\[ \ln(v) = \pm \frac{A}{x}. \]
Теперь снова возьмём экспоненту от обеих частей:
\[ v = e^{\pm \frac{A}{x}}. \]
Так как \( v = \frac{y}{x} \), возвращаемся к переменным \( y \) и \( x \):
\[ \frac{y}{x} = e^{\pm \frac{A}{x}}. \]
Отсюда:
\[ y = x e^{\pm \frac{A}{x}}. \]
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
\[ y = x e^{\frac{A}{x}}, \]
где \( A \) — произвольная постоянная.