Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения

Предмет: Математика (Дифференциальные уравнения)

Задание:

Необходимо найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения:

$\text{[}x{y}^{\prime }+y(\ln \left(\frac{y}{x}\right)-1)=0.\text{]}$

1. Преобразование уравнения:

Запишем уравнение в более удобной форме. Сначала раскроем скобки:

$\text{[}x{y}^{\prime }+y\ln \left(\frac{y}{x}\right)-y=0.\text{]}$

Перенесем $\text{(}y\text{)}$ в правую часть:

$\text{[}x{y}^{\prime }+y\ln \left(\frac{y}{x}\right)=y.\text{]}$

Теперь разделим обе стороны на $\text{(}x\text{)}$, чтобы привести выражение к форме, удобной для анализа:

$\text{[}{y}^{\prime }+\frac{y}{x}\ln \left(\frac{y}{x}\right)=\frac{y}{x}.\text{]}$

2. Замена переменных:

Для упрощения решения воспользуемся заменой переменных:

$\text{[}v=\frac{y}{x}.\text{]}$

Отсюда:

$\text{[}y=vx\text{и}{y}^{\prime }=v+x{v}^{\prime }.\text{]}$

Подставим это в исходное уравнение:

$\text{[}v+x{v}^{\prime }+v\ln (v)=v.\text{]}$

После сокращения одинаковых членов ($\text{(}v\text{)}$) получаем:

$\text{[}x{v}^{\prime }+v\ln (v)=0.\text{]}$

3. Разделение переменных:

Разделим переменные в уравнении:

$\text{[}x{v}^{\prime }=-v\ln (v).\text{]}$

$\text{[}\frac{v^{\prime }}{v\ln (v)}=-\frac{1}{x}.\text{]}$

Теперь можем проинтегрировать обе стороны по $\text{(}x\text{)}$. Левая часть будет интегрироваться по $\text{(}v\text{)}$, а правая по $\text{(}x\text{)}$.

4. Интегрирование:

Для интегрирования левой части используем замену $\text{(}u=\ln (v)\text{)}$, тогда $\text{(}du=\frac{dv}{v}\text{)}$, и уравнение примет вид:

$\text{[}\int \frac{du}{u}=-\int \frac{dx}{x}.\text{]}$

Интегрируем обе части:

$\text{[}\ln |\ln (v)|=-\ln |x|+C,\text{]}$

где $\text{(}C\text{)}$ — произвольная постоянная интегрирования. Для удобства выражения запишем результат следующим образом:

$\text{[}\ln |\ln (v)|=\ln \left(\frac{A}{x}\right),\text{]}$

где $\text{(}A=e^C\text{)}$ — новая произвольная постоянная. Теперь возьмём экспоненту от обеих частей:

$\text{[}|\ln (v)|=\frac{A}{x}.\text{]}$

$\text{[}\ln (v)=\pm \frac{A}{x}.\text{]}$

Теперь снова возьмём экспоненту от обеих частей:

$\text{[}v=e^{\pm \frac{A}{x}}.\text{]}$

5. Возвращение к исходной переменной:

Так как $\text{(}v=\frac{y}{x}\text{)}$, возвращаемся к переменным $\text{(}y\text{)}$ и $\text{(}x\text{)}$:

$\text{[}\frac{y}{x}=e^{\pm \frac{A}{x}}.\text{]}$

Отсюда:

$\text{[}y=x{e}^{\pm \frac{A}{x}}.\text{]}$

6. Общее решение:

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

$\text{[}y=x{e}^{\frac{A}{x}},\text{]}$

где $\text{(}A\text{)}$ — произвольная постоянная.