Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения

Предмет: Математика (Дифференциальные уравнения)

Задание:

Необходимо найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения:

\[ xy' + y \left( \ln \left( \frac{y}{x} \right) - 1 \right) = 0. \]

1. Преобразование уравнения:

Запишем уравнение в более удобной форме. Сначала раскроем скобки:

\[ xy' + y \ln \left( \frac{y}{x} \right) - y = 0. \]

Перенесем \( y \) в правую часть:

\[ xy' + y \ln \left( \frac{y}{x} \right) = y. \]

Теперь разделим обе стороны на \( x \), чтобы привести выражение к форме, удобной для анализа:

\[ y' + \frac{y}{x} \ln \left( \frac{y}{x} \right) = \frac{y}{x}. \]

2. Замена переменных:

Для упрощения решения воспользуемся заменой переменных:

\[ v = \frac{y}{x}. \]

Отсюда:

\[ y = vx \quad \text{и} \quad y' = v + x v'. \]

Подставим это в исходное уравнение:

\[ v + x v' + v \ln(v) = v. \]

После сокращения одинаковых членов (\( v \)) получаем:

\[ x v' + v \ln(v) = 0. \]

3. Разделение переменных:

Разделим переменные в уравнении:

\[ x v' = -v \ln(v). \]

\[ \frac{v'}{v \ln(v)} = -\frac{1}{x}. \]

Теперь можем проинтегрировать обе стороны по \( x \). Левая часть будет интегрироваться по \( v \), а правая по \( x \).

4. Интегрирование:

Для интегрирования левой части используем замену \( u = \ln(v) \), тогда \( du = \frac{dv}{v} \), и уравнение примет вид:

\[ \int \frac{du}{u} = -\int \frac{dx}{x}. \]

Интегрируем обе части:

\[ \ln | \ln(v) | = -\ln|x| + C, \]

где \( C \) — произвольная постоянная интегрирования. Для удобства выражения запишем результат следующим образом:

\[ \ln | \ln(v) | = \ln \left( \frac{A}{x} \right), \]

где \( A = e^C \) — новая произвольная постоянная. Теперь возьмём экспоненту от обеих частей:

\[ |\ln(v)| = \frac{A}{x}. \]

\[ \ln(v) = \pm \frac{A}{x}. \]

Теперь снова возьмём экспоненту от обеих частей:

\[ v = e^{\pm \frac{A}{x}}. \]

5. Возвращение к исходной переменной:

Так как \( v = \frac{y}{x} \), возвращаемся к переменным \( y \) и \( x \):

\[ \frac{y}{x} = e^{\pm \frac{A}{x}}. \]

Отсюда:

\[ y = x e^{\pm \frac{A}{x}}. \]

6. Общее решение:

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

\[ y = x e^{\frac{A}{x}}, \]

где \( A \) — произвольная постоянная.