Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения (обыкновенные дифференциальные уравнения, ОДУ)
Тип уравнения: Линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка

Задание: Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:

xy - y = 2x^3

Шаг 1: Преобразуем уравнение

Дано:

xy - y = 2x^3

Вынесем y за скобки в левой части:

y(x - 1) = 2x^3

Теперь выразим y:

y = \frac{2x^3}{x - 1}

Это не дифференциальное уравнение. Это просто выражение для функции y(x). Следовательно, в исходной формулировке ошибка: в уравнении нет производной, поэтому это не дифференциальное уравнение.

Возможная ошибка

Вероятно, в условии опущена производная. Возможно, правильная форма уравнения:

x \frac{dy}{dx} - y = 2x^3

Это уже линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка.

Шаг 2: Приведем уравнение к стандартному виду

Запишем уравнение:

x \frac{dy}{dx} - y = 2x^3

Разделим обе части на x (при x \ne 0):

\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y = 2x^2

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка:

\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x),
где P(x) = -\frac{1}{x}, Q(x) = 2x^2

Шаг 3: Найдем интегрирующий множитель

Интегрирующий множитель:

\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx} = e^{\int -\frac{1}{x}\,dx} = e^{-\ln|x|} = \frac{1}{|x|}

Поскольку мы рассматриваем решение на промежутке, где x > 0, то \mu(x) = \frac{1}{x}

Шаг 4: Умножим уравнение на интегрирующий множитель

Уравнение:

\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y = 2x^2

Умножим обе части на \frac{1}{x}:

\frac{1}{x} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{x^2}y = 2x

Левая часть — производная произведения:

\frac{d}{dx}\left(\frac{y}{x}\right) = 2x

Шаг 5: Интегрируем обе части

\frac{d}{dx}\left(\frac{y}{x}\right) = 2x

Интегрируем:

\frac{y}{x} = \int 2x\,dx = x^2 + C

Шаг 6: Выражаем y

y = x(x^2 + C) = x^3 + Cx

Ответ:

Общее решение уравнения:

y = x^3 + Cx

где C — произвольная постоянная.

Если ты имел в виду другое уравнение, пожалуйста, уточни его (например, добавь производную).