Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка

Это задание по предмету "Математика", разделу "Дифференциальные уравнения".

Необходимо найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка. Уравнение \(xy'' + y' = 0\).

1. Приведем уравнение к стандартному виду. Разделим обе части на \(x\):

\[ y'' + \frac{y'}{x} = 0. \]

2. Введем замену переменной \(y' = v\):

\[ y'' = v \cdot v' = v \cdot \frac{dv}{dy}. \]

Теперь уравнение будет выглядеть так:

\[ v \cdot \frac{dv}{dy} + \frac{v}{x} = 0 \]

3. Перенесем \( \frac{v}{x} \) на другую сторону и разделим обе части уравнения на \(v\):

\[ v \cdot \frac{dv}{dy} = -\frac{v}{x}, \]

\[ \frac{dv}{dy} = -\frac{1}{x}. \]

4. Интегрируем обе части по \(x\):

\[ \int dv = \int -\frac{1}{x}\, dx, \]

\[ v = -\ln|x| + C_1. \]

Так как \(v = y'\), имеем:

\[ y' = -\ln|x| + C_1. \]

5. Интегрируем опять обе части по \(x\):

\[ \int dy = \int (-\ln|x| + C_1)\, dx, \]

\[ y = \int (-\ln|x|)\, dx + \int C_1\, dx, \]

\[ y = -\int \ln|x|\, dx + C_1 x + C_2. \]

6. Заметим, что \( \int \ln|x|\, dx \) интегрируем по частям:

\[ u = \ln|x| \Rightarrow du = \frac{1}{x}\, dx, \]

\[ dv = dx \Rightarrow v = x. \]

Тогда:

\[ \int \ln|x|\, dx = x\ln|x| - \int x \cdot \frac{1}{x}\, dx, \]

\[ = x\ln|x| - \int 1\, dx, \]

\[ = x\ln|x| - x. \]

Соответственно:

\[ y = -(x\ln|x| - x) + C_1 x + C_2, \]

\[ y = -x\ln|x| + x + C_1 x + C_2, \]

\[ y = x(1 + C_1 - \ln|x|) + C_2. \]

Пусть \(C_1 = C\), тогда окончательное решение:

\[ y = x(C - \ln|x|) + C_2. \]

Заменив константы \(C\) и \(C_2\) другими буквы, получаем:

\[ y = x\ln|x| + C_1 x + C_2. \]

Тогда, общий вид решения:

\[ y = C_1 x \ln|x| + C_2. \]

Опишем решение ещё раз, немного по-другому, чтобы не было путаницы с интегрированием:

1. Уравнение имеет вид:

\[ xy'' + y' = 0. \]

2. Воспользуемся подстановкой \(v = y'\).

\[ x\frac{dv}{dx} + v = 0. \]

\[ \frac{dv}{dx} = -\frac{v}{x}. \]

3. Разделим переменные:

\[ \frac{dv}{v} = -\frac{dx}{x}. \]

4. Интегрируем обе части:

\[ \ln|v| = -\ln|x| + \ln|C_1|, \]

\[ v = \frac{C_1}{x}. \]

\[ y' = \frac{C_1}{x}. \]

5. Интегрируем ещё раз:

\[ y = C_1 \ln|x| + C_2. \]

Итак, общее решение уравнения:

\[ y = C_1 \ln|x| + C_2. \]