Найти общее решение дифференциального уравнения 2y*y’’=(y’)^2

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения (обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка)

Нам дано уравнение:

2y \cdot y'' = (y')^2

Наша цель — решить это дифференциальное уравнение.

Шаг 1: Замена переменных

Обозначим y' = p, тогда y'' = \frac{dp}{dx}. Но так как p = \frac{dy}{dx}, то по правилу цепного дифференцирования:

\frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{dp}{dy} \cdot p

Заменим y'' в уравнении:

2y \cdot y'' = (y')^2 \Rightarrow 2y \cdot \left( \frac{dp}{dy} \cdot p \right) = p^2

Шаг 2: Упростим уравнение

2y \cdot p \cdot \frac{dp}{dy} = p^2

Разделим обе части на p (предполагая, что p \ne 0):

2y \cdot \frac{dp}{dy} = p

Теперь разделим переменные:

\frac{dp}{dy} = \frac{p}{2y}

Шаг 3: Интегрирование

Разделим переменные:

\frac{dp}{p} = \frac{dy}{2y}

Интегрируем обе части:

\int \frac{1}{p} dp = \int \frac{1}{2y} dy

\ln |p| = \frac{1}{2} \ln |y| + C_1

Упростим:

\ln |p| = \ln |y|^{1/2} + C_1

\ln |p| = \ln \left( |y|^{1/2} \cdot e^{C_1} \right)

Пусть C = e^{C_1}, тогда:

|p| = C \cdot |y|^{1/2}

Следовательно:

p = \frac{dy}{dx} = C \cdot \sqrt{y}

Шаг 4: Решим полученное уравнение

\frac{dy}{dx} = C \cdot \sqrt{y}

Это уравнение разделяется:

\frac{dy}{\sqrt{y}} = C \, dx

Интегрируем обе части:

\int y^{-1/2} dy = \int C \, dx

2\sqrt{y} = Cx + C_2

Шаг 5: Выразим y

\sqrt{y} = \frac{1}{2}(Cx + C_2)

y = \left( \frac{1}{2}(Cx + C_2) \right)^2

Или, обозначив A = C, B = C_2, получим общее решение:

y(x) = \left( \frac{1}{2}(Ax + B) \right)^2 = \frac{1}{4}(Ax + B)^2

Ответ:

Общее решение дифференциального уравнения:

y(x) = \frac{1}{4}(Ax + B)^2,
где A и B — произвольные постоянные.