Найти общее решение дифференциального уравнения

Определение предмета и раздела

Это задание относится к предмету математика, а конкретно к разделу дифференциальные уравнения.

Решение задачи

На нам дано дифференциальное уравнение второго порядка: \[ (1 - x^2)y'' - 2xy' = 2x \]

Это уравнение Лежандра вида: \[ (1 - x^2)y'' - 2xy' + n(n+1)y = 0 \]

где \(( n(n+1) \) равно нулю, то есть \( y \) — решение без кода Лежандра. Но нам дано уравнение безбуловного члена, поэтому мы воспользуемся методом варьирования постоянной.

1. Находим общее решение однородного уравнения: \[ (1 - x^2)y'' - 2xy' = 0 \]
2. Предположим решение в виде: \[ y = x \]
3. Заменим это в уравнение: \[ (1 - x^2)\cdot 0 - 2x \cdot \frac{d}{dx}(x) = 0 \]
4. \[ -2x = 0 \]
5. Это соответствует, так как у нас: \[ y = x \] это одно из решений.
6. Другое решение найдем методом преобразования: \[ y = \ln|x| \]
7. Теперь найдем общее решение неоднородного уравнения. Пусть \( y_1(x) = x \) и \( y_2(x) = \ln|x| \).
8. Пытаемся найти приватное решение, используя метод варьирования постоянных: \[ y = C_1(x) \cdot y_1 + C_2(x) \cdot y_2 \]
9. Подставим это в наше уравнение: \[ y = u_1(x) \cdot x + u_2(x) \cdot \ln|x| \] so \[ y' = ... \] \[ y'' = ... \]
10. After making all derivations and cleaning, we find the result: Пусть \( y = A \cdot x + B \cdot (1 - x^2)^{-1/2}(\arcsin x) + C \cdot (\arcsinx) \)

Final solution is: here nx can n算法, Correct option is: d. y=C1arcsinx+C2.